電子と光子の相互作用の計算について

こんにちは、ランダウ相対論的量子力学１のＰ４０４の計算（コンプトン散乱）について、
下記を教えてください。

１．Ｐ４０４上から１２行目の式
　　f(s,u)+g(s,u)+f(u,s)+g(u,s)は、
＝ f(s,u)+2*g(s,u) +g(u,s)でよろしいでしょうか？

２、g(u,s)の計算は、下記でよろしいでしょうか？

計算式
T3 = 1/4*tr[(sl[p1] + m[p])**gm[up[n]]**(sl[p] - sl[k] + m[p])**gm[up[m]]**(sl[p] + m[p])**gm[m]**(sl[p] - sl[k] + m[p])**
gm[n]];

T33=ExpandAll[T3 /. sc[k, k] -> 0 /. sc[p1, p1] -> m[p]^2 /. sc[p, p] -> m[p]^2/.sc[p, k]->1/2*(s-m[p]^2)/.sc[p1, k]->1/2*(m[p]^2-u)/.sc[p1, p]->m[p]^2-t/2/.t->2*m[p]^2-s-u];
T33*(1/(4(u-m[p]^2)^2))

答え
(-2*s*u - 10*s*m[p]^2 - 6*u*m[p]^2 + 26*m[p]^4)/(4*(u - m[p]^2)^2)

No.3 ベストアンサー 回答者： grothendieck 回答日時： 2005/11/23 23:31

T1 に sl[k] は2か所ありますが、T3 ではそのうち1か所が -k に置き換わっています。

また
　sc[k1, p1] -> 1/2*(s-m[p]^2)
計算のチェックはご自分でするようにお願いします。ただしランダウ=リフシッツ「相対論的量子力学」に誤植はかなりあるようです。

この回答へのお礼

お返事ありがとうございます。

ご指摘頂いた点を修正しますと正しく計算できました。ご厚意に深謝いたします。
今後、式（８６．６）から式（８６．９）を導く必要がありますが、とりあえず、
TamrA に頼らず、自分でmathematicaプログラムを作成して、式（８６．６）を導きたいと思います。
では、今後ともご指導の程、よろしく御願いいたします。

お礼日時：2005/11/24 23:11

No.2 回答者： grothendieck 回答日時： 2005/11/23 10:16

f(s,u)は直接過程の散乱、g(s,u)、g(u,s)は干渉項、f(u,s)は交換過程の散乱を表わします。

f(u,s)の計算は、
T3 = 1/4*tr[(sl[p1] …
T33*(1/(4(u-m[p]^2)^2))

と両方に1/4を入れる必要はないと思いますが、光子の散乱後の4次元運動量を k1 とすると、f(u,s)はf(s,u)の中でk と -k1 を入れ替えることによって得られます。よってf(s,u)の中で

sl[p] + sl[k] → sl[p] - sl[k1]

あるいは p - k1 = p1 - k なので k1 を消去すると

　sl[p] + sl[k] → sl[p1] - sl[k]

という置き換え(とs→u)を行います。ランダウ=リフシッツではガウス単位系を用いているので光速とプランク定数を１としたとき、微細構造定数はe^2になります。(ワインバーグなどはe^2/(4π))

この回答へのお礼

お返事ありがとうございます。
下記のＴ１１は直接項、Ｔ２２は干渉項、Ｔ３３は交換項、Ｔ１００は、４つの項の合計、Ｔ２００は式（８６．６）を表します。Ｔ１１とＴ２２は教科書の記載の結果と一致しています。
Ｔ２００-Ｔ１００は、ゼロになるはずですが、そうなりません。Ｔ３３の計算のどこが悪いのでしょうか？

T1 = 1/4*tr[(sl[p1] + m[p])**gm[up[n]]**(sl[p] + sl[k] + m[p])**gm[up[m]]**(sl[p] + m[p])**gm[m]**(sl[p] + sl[k] + m[p])**
gm[n]];
T11=ExpandAll[T1 /. sc[k, k] -> 0 /. sc[p1, p1] -> m[p]^2 /. sc[p, p] -> m[p]^2/.sc[p, k]->1/2*(s-m[p]^2)/.sc[p1, k]->1/2*(m[p]^2-u)/.sc[p1, p]->m[p]^2-t/2/.t->2*m[p]^2-s-u];
T2 = 1/4*tr[(sl[p1] + m[p])**gm[up[n]]**(sl[p] + sl[k] + m[p])**gm[up[m]]**(sl[p] + m[p])**gm[n]**(sl[p] - sl[k1] + m[p])**
gm[m]];
T22=ExpandAll[T2 /. sc[k, k1] -> -1/2*t/. sc[k, k] -> 0 /. sc[k1, k1] -> 0/. sc[p1, p1] -> m[p]^2 /. sc[p, p] -> m[p]^2/.sc[p1, k1]->1/2*(s-m[p]^2)/.sc[p, k1]->1/2*(m[p]^2-u)/.sc[p, k]->1/2*(s-m[p]^2)/.sc[p1, k]->1/2*(m[p]^2-u)/.sc[p1, p]->m[p]^2-t/2/.t->2*m[p]^2-s-u];
T3 = 1/4*tr[(sl[p1] + m[p])**gm[up[n]]**(sl[p] - sl[k1] + m[p])**gm[up[m]]**(sl[p] + m[p])**gm[m]**(sl[p] - sl[k] + m[p])**
gm[n]];
T33=ExpandAll[T3 /. sc[k, k] -> 0 /. sc[p1, p1] -> m[p]^2 /. sc[p, p] -> m[p]^2/.sc[p, k]->1/2*(s-m[p]^2)/.sc[p1, k]->1/2*(m[p]^2-u)/.sc[p1, p]->m[p]^2-t/2/.sc[k, k1]->-t/2/.sc[p, k1]->1/2*(m[p]^2-u)/.sc[k1, p1] -> s-m[p]^2 /.t->2*m[p]^2-s-u]
T100=T11*(1/((s-m[p]^2)^2))+T22*2*(1/((s-m[p]^2)*(u-m[p]^2)))+T33*(1/((u-m[p]^2)^2));
T200=8*((m[p]^2/(s-m[p]^2)+m[p]^2/(u-m[p]^2))^2+m[p]^2/(s-m[p]^2)+m[p]^2/(u-m[p]^2)-(1/4)*((s-m[p]^2)/(u-m[p]^2)+(u-m[p]^2)/(s-m[p]^2)));
FullSimplify[T100-T200]

答え
Ｔ３３
s^2 - 2*s*u + 2*s*m[p]^2 + 6*u*m[p]^2 + m[p]^4

Ｔ１００－Ｔ２００
(s^2 - m[p]^4)/(u - m[p]^2)^2

お礼日時：2005/11/23 22:42

No.1 回答者： grothendieck 回答日時： 2005/11/22 22:03

光子の散乱後の4次元運動量を k1 とすると、g(u,s)はg(s,u)の中でk と -k1 を入れ替えることによって得られます。

よって

T3 = tr[(sl[p1] + m[p])**gm[up[n]]**(sl[p] - sl[k1] + m[p])**gm[up[m]]**(sl[p] + m[p])**gm[n]**(sl[p] + sl[k] + m[p])**
gm[m]];

あるいは p - k1 = p1 - k なので k1 を消去すると

T3 = tr[(sl[p1] + m[p])**gm[up[n]]**(sl[p1] - sl[k] + m[p])**gm[up[m]]**(sl[p] + m[p])**gm[n]**(sl[p] + sl[k] + m[p])**
gm[m]];

T33=ExpandAll[T3 /. sc[k, k] -> 0 /. sc[p1, p1] -> m[p]^2 /. sc[p, p] -> m[p]^2/.sc[p, k]->1/2*(s-m[p]^2)/.sc[p1, k]->1/2*(m[p]^2-u)/.sc[p1, p]->m[p]^2-t/2/.t->2*m[p]^2-s-u];
T33*(1/(4(u-m[p]^2)(s-m[p]^2)))

とすれば良いでしょう。g(u,s)はg(s,u)と等しくなります。

この回答へのお礼

お返事ありがとうございます。

そうしますと、　f(s,u)+g(s,u)+f(u,s)+g(u,s)は、
＝ f(s,u)+2*g(s,u) + f(u,s)になるのでしょうか？

すると、f(s,u)は直接項、g(s,u)、g(u,s)は干渉項、f(u,s)は交換項なのでしょうか？

またf(u,s)の計算は、
T3 = 1/4*tr[(sl[p1] + m[p])**gm[up[n]]**(sl[p] - sl[k] + m[p])**gm[up[m]]**(sl[p] + m[p])**gm[m]**(sl[p] - sl[k] + m[p])**
gm[n]];

T33=ExpandAll[T3 /. sc[k, k] -> 0 /. sc[p1, p1] -> m[p]^2 /. sc[p, p] -> m[p]^2/.sc[p, k]->1/2*(s-m[p]^2)/.sc[p1, k]->1/2*(m[p]^2-u)/.sc[p1, p]->m[p]^2-t/2/.t->2*m[p]^2-s-u];

T33*(1/(4(u-m[p]^2)^2))

答え
(-2*s*u - 10*s*m[p]^2 - 6*u*m[p]^2 + 26*m[p]^4)/(4*(u - m[p]^2)^2)

でよろしいでしょうか？

お礼日時：2005/11/23 00:14