簡単な数学の悩みです

８本のハンドがあるクレーンがあります。クレーンでトラックに荷物を積むのですが、その荷物は全部で８種類あります。
１本のハンドでは１種類の荷物１つが運べ、１回のクレーン動作で同時に８個の荷物がトラックに積めます。
日によってトラックに運ぶ荷物の数、種類はまちまちなのですが、１つの荷物を運ぶハンドは他の荷物を
吊り上げることができず、例えば５種類の荷物を運ぶためには対応したハンド５種類をクレーンに装着しな
ければなりません。トラックは２つのレーンに１台ずつ待機しており、規定の荷物を全て積み終わったらすぐに発車し、
その後、後続のトラックがすぐにレーンに入ってきます。２台待機していますが、一旦荷物を積み始めた
トラックが全ての荷物を積み終わるまでもう一台のトラックには荷物を積むことができません。
片方のレーンのトラックが積み終わり、トラックが入れ替わっている間はもう一方のレーンのトラックには荷物を積むことが出来ます
クレーンのハンドの交換時間をXとし、クレーンが荷物を吊り上げてからトラックの位置まで運ぶ時間をYとすると
X＋Yが最も短くなるクレーンのハンドの組み合わせはどうやったら求まるでしょうか？（一般式はどうなるのでしょうか？）
XはYのZ倍です。

例：A３０個　B１０個の場合

はじめにA用が８本ついていたら４往復
B用に８本つけかえて２往復　（１回交換）
4X+2X+Y

A用４本、B用４本であれば

３往復でA１２個、B１０個運べたので、
全てA用に付け替える（１回交換）

残り１往復でA８個運べる

３X＋Y＋X　（こっちの方が良さそう）

でも次のレーンのトラックの積み始めはA用８本からだが本当に最速なのか？。

積む荷物は日によってトラック１台あたり１種類で１０個だったり、３種類（A３個　B４個　C１個）　だったり全く規則性がありません

１秒でも短くしろという事なのでよろしくお願いします。

No.7 回答者： 16August 回答日時： 2005/12/09 08:59

ここまで補足を求めておいてなんですが、私にとっては、とても複雑な問題になっています。

　回答を求める一般式を出すことが可能かどうかは分かりませんので、私の思いつく範囲でのアドバイスをさせていただきます。　（一番効率が良くなるのは、全ての荷物を共通のハンドで扱えるようにすることですが、それができればこんな質問は発生しないですね）　問題を求めるのが不可能な間、考えられる運用としては積み込む荷物のパターンによって回答を考え表にまとめておくこと。　事前に積み込む荷物のパターンが把握できるならそれなりに有効だと思います。

例の問題を考えてみると
（A:8,B:0）にて4往復　所要時間４Ｘ→付け替え　所要時間Ｙ→（A:0,B:8）にて2往復　所要時間2Ｘ→合計時間　６Ｘ+Ｙ　＝　（６+Ｚ）Ｘ
（Ａ:4,B:4）にて3往復→付け替え→（A:8,B:0）にて3往復　の所要時間は同じく6ｘ+ｙになります。
この例について直感的なアプローチをとると荷物は全部で40個あるので、一回に8個の荷物を運べるので一回も空のクレーンがなければ5往復で運べます。　Ａの荷物30個とＢの荷物10個に両方とも5（運ぶ回数）で割れますので、クレーンは（A:6,B:2）にて５往復　所要時間は５ｘというのが最小になります。　このように所要時間はｘの倍数になりますが,クレーンの付け替えが発生する際にはＺの倍数が加わってきます。　ｚの値によっては一回余分に付け替えて一回で荷物を運ぶよりは、2往復荷物を運ばせたほうが良い場合もあると思います。（ｚ＞２）　

エクセルなどで表を作って実際に所要時間を予測してみるか、プログラミングができるなら、シミュレーションプログラムを組んでみるぐらいしか、私には思いつきません。　クレーンの組み合わせパターンも有限ですので、パターンでの時間予測はできないことはないと思いますが、あまり現実的ではないような、、、　また、次のトラックの荷物のパターンが違う場合はもっと複雑な問題になってきますので、まずは一台のパターンから、考えていったらいかがでしょうか？　

すっきりした回答が出せなくて申し訳ありません。

No.6 回答者： 16August 回答日時： 2005/12/07 08:15

Ｎｏ4ですが、もう一つだけ教えていただきたいのですが、ハンドの交換時間Ｘというのはハンドを１個交換する時間でしょうか？　それとも、一回に何個か交換してもＸなのでしょうか？　質問ばかりで申し訳ありません。

この回答への補足

詳細まで考えてくださってありがとうございます。今回のケースはハンドを交換する位置まで移動する時間がハンド一つの交換に要する時間に比べて大きいため、１回の交換動作が発生した場合何個ハンドを交換しても交換に要する時間はＸとさせて下さい。
よろしくお願いします。

補足日時：2005/12/09 00:01

No.5 回答者： 16August 回答日時： 2005/12/06 13:33

Ｎｏ4です。

勘違いしていました。

＞１本のハンドでは１種類の荷物１つが運べ、１回のクレーン動作で同時に８個の荷物がトラックに積めます。

の意味をはっきりと理解していませんでした。

一種類の荷物８個までが運べるということでしょうか？

この回答への補足

回答ありがとうございます。
質問の書き方があいまいで申し訳ありません。
対応するハンドの組み合わせにより、
同一のハンドを８個装着し、同じ荷物を８個運ぶ事もできますし、８種類のハンドを装着し、８種類の荷物を運ぶこともできます。ハンドの種類は自由に組み合わせることができますが、合計は８個です。
以上よろしくお願いいたします。

補足日時：2005/12/07 00:17

No.4 回答者： 16August 回答日時： 2005/12/06 13:25

指揮という意味では答えにはなっていませんが、直感的に考えると、Ｙ＝荷物の数*2で変動しないので、Ｘを最小限になるよう荷物をつめば宵のでゃないでしょうか。

一台のトラックに荷物を積み終わらなければ、次のトラックの作業を開始できないという条件があるので、

(1)現在ついているハンドで詰める荷物を全部積んでしまう。

(2)交換の際、複数の選択があるならば次のトラックに積む荷物に使えるハンドを最後に付ける。

とすれば、最小時間になるのではないでしょうか？

待機させるトラックを、積み込み時間中に入れ替えたりすると、(2)の条件の可能性が高くなることはあると思います。　

No.3 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2005/12/02 01:28

ちょっとだけ考えてみましたが、結構複雑そうですね。

ハンドの種類を変数にして、うまく制約条件を作れば、線形整数計画法になるような気はします。

あと、最初にＡ用８本ついてた場合ですが、
Ａ×８本で３往復した後、６本はＡのままで運んでいる間に、残り２本をＢ用に交換しておけば、
4X+2X+Y
より短くなると思いますが。
そういうことを考えると、さらに複雑そうです。

※
＞クレーンのハンドの交換時間をXとし、クレーンが荷物を吊り上げてからトラックの位置まで運ぶ時間をYとすると
これ逆ですよね？

この回答への補足

返信遅くなり申し訳ありません。
ＸとＹが逆になっていました。
もしかして、シンプレックス法についてお詳しいでしょうか？

補足日時：2005/12/07 00:12

No.2 回答者： nuu_yan 回答日時： 2005/12/02 01:21

３往復でA１２個、残り１往復でA８個運べる

とありますが、それだとA２０個しか運べてないですよ。問題はA３０個　あったんですよね。

すなおに、1種類ずつ片付けていくのが一番速いと思います。交換の所要時間が運ぶ時間に比べて短いならば、
Aを4往復で運ぶ時4往復目には6個しか残っていないから2個だけB用に付け替えたら良いでしょう。

この回答への補足

回答ありがとうございます。
やはり１種類ずつ考えていって、ある程度のシミュレーションから法則性を出した方が良いのかもしれませんね。
ちょっとそちらの方からアプローチを検討してみます。

補足日時：2005/12/07 00:23

No.1 回答者： plexus 回答日時： 2005/12/02 00:37

「でも次のレーンのトラックの積み始めはA用８本からだが本当に最速なのか？」

とありますが、

次のときまで考える意味がわかりません。

だって、Ｘ＋Ｙというのは、

そのときの時間なわけで、
次のときの時間うんぬんを含んでないですからね??

この回答へのお礼

質問のしかたがまずくて申し訳ありませんでした。
自分の頭の中が整理できる前に質問しちゃったようです。（謝）
もうちょっと整理してみます。
回答ありがとうございました。

お礼日時：2005/12/07 00:31