質問

(問題)
△ABCにおいて、A=45°、b=3+√3、c=√6の時、a、B、Cを求めよ。

答えは、aは2√3、Bは105°、Cは30°です。
三角比の余弦定理、2辺と間の角が分かるので、a2=b2+c2-2bc cosAを試してみましたが、解答に辿り着きません。bの3+√3が曲者?私の視点が違っているのでしょうか?
どの公式を使用してどのように計算していけば、もとめられるのでしょうか。ちなみに数学は全部苦手です。そんな私に超解りやすく解説していただけませんでしょうか。宜しくお願い致します。

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回答 (4件)

No1です。
 計算過程を細かく書いてみますので、1つ1つ確認してください。
  a^2=b^2+c^2-2bccosA
    b^2=(3+√3)^2=9+2×3×√3+3=12+6√3
    c^2=(√6)^2=6
    2bccosA=2×(3+√3)×√6×cos45°
          =2×(3+√3)×√6×(1/√2)
          =2×(3+√3)×√6/√2
          =2×(3+√3)×√3  ←√6/√2を約分
          =2×√3×(3+√3)  ←√3を前に
          =2√3×(3+√3)     
          =2√3×3+2√3×√3 ←2√3を分配
          =6√3+6
  以上より、
   a^2=12+6√3+6-(6√3+6)
     =12+6√3+6-6√3-6
     =12
  よって、
   a=√12=2√3

<正弦定理に入れた計算>
  a/sinA=c/sinC より、
    2√3/sin45°=√6/sinC
    2√3=(√6/sinC)×sin45° ←sin45°を両辺にかける
    2√3×sinC=√6×sin45°  ←sinC を両辺にかける
    2√3×sinC=√6×(1/√2)
    2√3×sinC=√3
    sinC=√3/(2√3)      ←2√3 で割る
    sinC=1/2
 よって、C=30°。 B=180°-45°-30°=105°

この回答へのお礼

debut様、丁寧に解説頂きありがとうございました。
この通りに計算したら、自分でも答えが出せました!

No1です。
 余計なお世話かもしれませんが、「超解りやすく」ということで、
 後半の正弦定理を計算するときのことを少し。
  a/sinA=c/sinC から 2√3/sin45°=√6/sinC となりますが
  この時点で 両辺にsin45°をかけて 2√3=(√6/sinC)×sin45°
        両辺にsinC をかけて 2√3sinC=√6sin45°
  のようにしておくとやりやすいでしょう。

未知数がちょうど三つあるので、以下の余弦定理
三角形ABCにおいて、BC=a, CA=b, AB=c とおくとき、
a = bcosC + ccosB
b = ccosA + acosC
c = acosB + bcosA
というのを使って、3つの連立方程式を使い解くというのが思いつきますが、めんどうです。

ご質問にあるとおり、c2 = a2 + b2 - 2abcosθ
という余弦定理を使ってとくのが最速です。
計算してみたところ、ちゃんと√12=2√3になりました。
計算間違えがあるはずです、よく確認してみてください。
あとは、aが求まったので、sinB,CなりcosB,Cなりを出せばOKです。

この回答へのお礼

ひとつの問題にも、幾通りも計算方法があるのですね。
勉強になります。

お考えのa2=b2+c2-2bc cosAの利用でよろしいです。

 a^2=(3+√3)^2+(√6)^2-2√6(3+√3)cos45°
   =12+6√3+6-2√6(3+√3)×(1/√2)
   ※後半の√6×(1/√2)=√3としておけば
   =12+6√3+6-2√3(3+√3)
   =・・・・

aが求まれば、正弦定理a/sinA=c/sinC からCが出て、内角の和からB
が求まります。

この回答への補足

せっかくの回答が・・・。すみません。よく理解出来ません。
『※後半の・・・』というところから、固まってしまいました。平方根の計算が確実には出来ていないからでしょうか。

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