総当りのリーグ戦の日程作成方法

スポーツで、総当りのリーグ戦をするとします。
たとえばＡ～Ｆの６チームでやる場合、
１日目 Ａ対Ｂ、Ｃ対Ｄ、Ｅ対Ｆ
２日目 Ｂ対Ｃ、Ｄ対Ｅ、Ｆ対Ａ
…

というように、毎日全てのチームが試合をし、
かつ同じチームとは１試合しか試合をしないようにして
５日でこのリーグ戦を終わらせるようにする日程のつくり方って、何か決まった方法があるんでしょうか？

６チームくらいだと、何回か適当にやってみるとできるのですが、もっと大きい数になった場合にも、一般的に可能なのですか？
もしやり方があるのでしたら、教えてください！

No.1 回答者： KaitoTVGAMEKOZOU 回答日時： 2001/12/21 03:22

＞６チームくらいだと、何回か適当にやってみるとできるのですが、…

本当に？

この回答への補足

１日目：
Ａ－Ｂ Ｃ－Ｄ Ｅ－Ｆ
２日目：
Ａ－Ｃ Ｂ－Ｅ Ｄ－Ｆ
３日目：
Ａ－Ｄ Ｂ－Ｆ Ｃ－Ｅ
４日目：
Ａ－Ｅ Ｂ－Ｄ Ｃ－Ｆ
５日目：
Ａ－Ｆ Ｂ－Ｃ Ｄ－Ｅ

と、今適当にやってみたのですが、
全チームが毎日試合をして、かつ各チームと１試合ずつして、５日で日程が終わります。

KaitoTVGAMEKOZOUさんは多分スポーツなど殆どしないし、見ないかたなのでしょうけど。
以前、バレーボールのＷ杯かなんかでも８チームくらいでこれをやってました。来年のサッカーＷ杯予選は、４チームでこれをやりますよね。

この日程の作り方に何かコツがあるのかなーと思ったんですが。
＃８チームだと結構難しいです。

補足日時：2001/12/21 08:50

No.2 回答者： hinebot 回答日時： 2001/12/21 11:08

長文になりました。

お許しを。

条件を満たすには、全チーム数が偶数であることはいいですよね。
今チーム数をNとします。
１対１で2チームづつ試合するわけですから、１日に消化できる試合数はN/2となります。

一方、全試合数は、総当りですから、自分を除く全チームと試合する必要があるわけで1チームあたり(N－1)試合、NチームですからN(N-1) ここで互いにダブっているから、２で割って N(N-1)/2試合となります。

よって、全試合消化には N(N-1)/2 ÷N/2 = N-1 日必要になるわけです。

ここまではいいですね。

次に1日の組み合わせを考えるのは、Nチームを1列に並べる並べ方を考えることと同じです。つまり、N!通りの並べ方があるわけです。
（！は階乗の記号です。　n!= n*(n-1)*(n-2)*…*3*2*1 です。）

このN!通りの中から、重ならないようにN-1通り分を選ぶことになるわけです。
8チームだと、８！、最初の1チームを固定しても7！=5040通り　から7通り分を選ぶ作業になります。

一般解はわかりませんが、8チームぐらいなら、やっつけでもできます。考え方は同じでしょうね。（多分）

以下、私のやり方です。
チームをA～Hとします。8チームですから7日間必要で、まず1日目とAチームの日程を
決めてしまいます。

1日目　A-B C-D E-F G-H
2日目 A-C
3日目 A-D
4日目 A-E
5日目 A-F
6日目 A-G
7日目 A-H

次にBチームの日程を決めます。重なりに気をつけて順番に並べてしまいます。

1日目　A-B C-D E-F G-H
2日目 A-C B-D
3日目 A-D B-E
4日目 A-E B-F
5日目 A-F B-G
6日目 A-G B-H
7日目 A-H B-C

ここまではいいですね。次はCチームです。すでにCが組まれている1日目/2日目/7日目以外に入れます。

1日目　A-B C-D E-F G-H
2日目 A-C B-D
3日目 A-D B-E C-
4日目 A-E B-F C-
5日目 A-F B-G C-
6日目 A-G B-H C-
7日目 A-H B-C

ここで、Cの対戦相手のE,F,G,Hについて考えます。
C-Eは5日目か6日目しか入れません。
もし、C-Eを6日目に当てると残る2チームがD-Hとなり、6日目にはB-Hが組まれているのでHが重なるので不可です。よってC-Eは5日目となります。

次にC-Fは4日目以外は入れますが、上述の通りC-Eが5日目で確定したので3日目か6日目になります。3日目に入れると3日目の残るカードがG-Hとなり、1日目と重なるのでC-Fは6日目と決まります。
同様に考えて、Cチームの日程が以下のように決まります。

1日目　A-B C-D E-F G-H
2日目 A-C B-D
3日目 A-D B-E C-G
4日目 A-E B-F C-H
5日目 A-F B-G C-E
6日目 A-G B-H C-F
7日目 A-H B-C

Dチーム以下についても同様に考察すると

1日目　A-B C-D E-F G-H
2日目 A-C B-D E-H F-G
3日目 A-D B-E C-G F-H
4日目 A-E B-F C-H D-G
5日目 A-F B-G C-E D-H
6日目 A-G B-H C-F D-E
7日目 A-H B-C D-F E-G

と決めることができます。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2001/12/22 07:41

●チームの数が偶数の場合を考えることにします。

チームに番号を付けて1,2,......,2Nとします。１日にN試合をするわけです。
総当たりなので、試合の回数はN(2N-1)で、これをN箇所で同時開催するのだから、(2N-1)日掛かります。

2N×2Nの対称行列Aで、チームx対yの対戦日付をA[x,y]と表すことにします。この行列A（対角線を除く）に、1～(2N-1)の日付をそれぞれN個づつ埋めることができれば良い。
ただし、どの行、どの列にも同じ数字が来てはいけない。
そのように埋めることができればオッケーですね。

チームが14ある場合(N=7)の例を示します。
　Ｘ　１　２　３　４　５　６　７　８　９１０１１１２１３
　１　Ｘ　３　４　５　６　７　８　９１０１１１２１３　２
　２　３　Ｘ　５　６　７　８　９１０１１１２１３　１　４
　３　４　５　Ｘ　７　８　９１０１１１２１３　１　２　６
　４　５　６　７　Ｘ　９１０１１１２１３　１　２　３　８
　５　６　７　８　９　Ｘ１１１２１３　１　２　３　４１０
　６　７　８　９１０１１　Ｘ１３　１　２　３　４　５１２
　７　８　９１０１１１２１３　Ｘ　２　３　４　５　６　１
　８　９１０１１１２１３　１　２　Ｘ　４　５　６　７　３
　９１０１１１２１３　１　２　３　４　Ｘ　６　７　８　５
１０１１１２１３　１　２　３　４　５　６　Ｘ　８　９　７
１１１２１３　１　２　３　４　５　６　７　８　Ｘ１０　９
１２１３　１　２　３　４　５　６　７　８　９１０　Ｘ１１
１３　２　４　６　８１０１２　１　３　５　７　９１１　Ｘ

もう要領はお分かりでしょう。 右端の列と一番下の行だけがちょっと例外になります。
●ではチームの数が奇数の場合には？
「幽霊チーム」をもうひとつ追加して偶数にしてしまえば良いのです。 幽霊チームとの対戦日とは、休養日という意味です。

●なお、この他にもやり方はありそうです。全部調べ上げるのは面白い問題になりますね。