拡大体？

有理数体Q上のGalois拡大体Lで、拡大次数[L:Q]=3である例を一つ示せ。

という問題なんですけど、そもそも拡大体ってなんでしょうか？
また、拡大次数とは何なんでしょうか？
これの回答は何になるんでしょう？？
さっぱりわからないのです。

No.1 回答者： nuubou 回答日時： 2002/01/12 01:03

「Ｌが体であってＬの部分集合ＱがＬにおける演算において体のときＬをＱの拡大体という」

「Ｌが体Ｑの拡大体とするとＬは体Ｑ上のベクトル空間と考えることができ
このベクトル空間の次数をＱに関するＬの拡大の次数と呼び［Ｌ：Ｑ］と表わす。」
例えば
集合：｛０，１｝
和：０＋０＝０，０＋１＝１，１＋０＝１，１＋１＝０
積：０・０＝０，０・１＝０，１・０＝０，１・１＝１
の体をＱとしたときその拡大次数３の体Ｌは
集合：ｘを変数とし体Ｑを係数とする多項式をｘ＾３＋ｘ＋１で割った余りの多項式の集合
和：多項式の和から自然に定義する（ｘ＾３＋ｘ＋１のｍｏｄ）
積：多項式の和から自然に定義する（ｘ＾３＋ｘ＋１のｍｏｄ）

No.2 回答者： nuubou 回答日時： 2002/01/12 01:10

「Ｌが体であってＬの部分集合ＱがＬにおける演算において体のときＬをＱの拡大体という」

「Ｌが体Ｑの拡大体とするとＬは体Ｑ上のベクトル空間と考えることができこのベクトル空間の次数をＱに関するＬの拡大の次数と呼び［Ｌ：Ｑ］と表わす。」
例えば
集合：｛０，１｝
和：０＋０＝０，０＋１＝１，１＋０＝１，１＋１＝０
積：０・０＝０，０・１＝０，１・０＝０，１・１＝１
の体をＱとしたときその拡大次数３の体Ｌは
集合：ｘを変数とし体Ｑを係数とする多項式をｘ＾３＋ｘ＋１で割った余りの多項式の集合
和：多項式の和から自然に定義する（ｘ＾３＋ｘ＋１のｍｏｄ）
積：多項式の積から自然に定義する（ｘ＾３＋ｘ＋１のｍｏｄ）

よく書き間違いをするので信用しないようにしたください

No.3 回答者： nuubou 回答日時： 2002/01/12 03:36

「Ｌが体であってＬの部分集合ＱがＬにおける演算において体のときＬをＱの拡大体という」

「Ｌが体Ｑの拡大体とするとＬは体Ｑ上のベクトル空間と考えることができこのベクトル空間の次数をＱに関するＬの拡大の次数と呼び［Ｌ：Ｑ］と表わす。」
例えば
集合：｛０，１｝
和：０＋０＝０，０＋１＝１，１＋０＝１，１＋１＝０
積：０・０＝０，０・１＝０，１・０＝０，１・１＝１
の体をＱとしたときその拡大次数３の拡大体Ｌは
集合：ｘを変数とし体Ｑを係数とする多項式をｘ＾３＋ｘ＋１で割った余りの多項式の集合
和：ｆ＋ｇ　ｍｏｄ（ｘ＾３＋ｘ＋１）
積：ｆ・ｇ　ｍｏｄ（ｘ＾３＋ｘ＋１）
の体

よく書き間違いをするので信用しないようにしたください

No.4 回答者： nuubou 回答日時： 2002/01/12 03:46

有理数体と有限体を取り違えていました

下の回答はすべて嘘です
どうもおさがわせしました

No.5 回答者： nibunnnoiti 回答日時： 2002/01/12 07:28

　回答は分りませんが・・・(^^;)

拡大体

http://www.ccad.sccs.chukyo-u.ac.jp/~mito/syllab …

拡大次数(11行目)

http://www.mis.hiroshima-u.ac.jp/~sumida/major/a …

　に書いてますよ。

No.6 回答者： nuubou 回答日時： 2002/01/13 00:35

有理数体の３次の拡大体なんて私も知りませんので興味ありますね

早く回答がほしいものですね
私も待っています
もしも回答がなかったら表紙を変えて再度質問してみたらどうですか？

No.7 ベストアンサー 回答者： orebiraki 回答日時： 2002/01/16 11:18

ここに、ごちゃごちゃと書いてもしょうがないので

文献を紹介します。

藤崎源二郎：「体とGalois理論」（岩波書店）

ここにかなり詳しく（拡大体やgalois拡大についても）
書かれています。（専門書なのできついかも...）

ちなみに答えは、多項式　x^3-3x+1 の根を有理数体に
添加した体がLの例になります。

もっというと、m を有理数として
　x^3-(m+3)x^2-mx-1
という多項式の根を添加すると有理数体上３次の
galois拡大が(mを色々変えることで)全てつくれます。
（Shanks の simplest cubic field と呼ばれています。）
これらの多項式の判別式が平方であることがポイントです。

取り急ぎの回答でした。