X1..Xnは独立で標準分布、期待値μ、分散σ^2。不偏分散s^2=1/(n-1) Σ(Xi - X')^2, X'=1/n ΣXi, で iは1からnまでです。X'はガンマ分布Γ(α、λ)に従い、α=(n-1)/2, λ=(n-1)/(2*σ~2)です。
(a) ガンマ分布を利用して、s^2がσ^2の不偏推定量であることと、その分散を求めよ。
(b) T(k)=k*s^2、kは定数 を考えます。その際に、T(k)の偏り と 分散をσ^2の推定量で表せ。そして、T(k)の 誤差の平方は(MSE)を最小値にするkを求めよ。
と言う問題があります。
最初にs^2=1/(n-1) Σ(Xi^2 - n X'^2)と表し、E(X')=σ^2と言う準備はできたのですが、それ以降さっぱりここ3,4日間考えてますがわかりません。回答は自分で導きたいと思ってますので、アドバイスをいただけないでしょうか?
A 回答 (5件)
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No.5
- 回答日時:
間違ってたらすみません。
一応他のアドバイスも待ってみてください。(b)に関しては、b(T, θ)=E(T)-θとした場合、T(k)=k*s^2なので、E(T(k))=k*σ^2、θ=σ^2。よって、b(T(k), θ)=k*σ^2-σ^2. Var(T(k))=(2*σ^4)/(n-1)。 このことから、MSE(平均二乗誤差)=E[(t-θ)^2]=Var[t]+(b(T,θ))^2を用いて、MSE=σ^4*[k^2-2K+1+2/(n-1)]と導けます。よって、MSEを最初にするkの値は、k=1の時で、その値は、(2*σ^4)/(n-1)となります。 これでどうでしょうか?私は、統計学に関してはそこまでできないので、より知識のある方のアドバイスに頼ってみてください。No.4
- 回答日時:
b ??よくわからないけど、一応できる範囲は、偏りをb(T, θ)=E(T)-θ というふうに推定量θで定め、後分散を求めることができれば、残りは簡単だと思いますけど。
だって、MSE(平均二乗誤差)=E[(t-θ)^2]=Var[t]+(b(T,θ))^2を使って、その最小値となるKをもとめるだけなので。しかし!! その肝心なb(T,θ)と、分散をどうやって求めるのだろうか??興味のある問題ですね。No3,4さん有難うございます。不偏性b(T, θ)=E(T)-θの求めかたと、分散の解き方が解れば全てうまくいくような感じがします。私なりにも考えてるのですが、うまくいかないです。
No.3
- 回答日時:
NO2であってますよ。
ガンマ分布を利用すると、ガンマ分布Γ(α、λ)に従い、α=(n-1)/2, λ=(n-1)/(2*σ~2)から、E(s^2)=α/λだから、E(s^2)=σ^2。これと、NO2さんがもとめたものを照らし合わせることで、不偏推定量であることがわかるので、ガンマ分布を使ったことになります。分散は、Var(s^2)=α/(λ^2)を使うともとめれますねぇ。(b)は難しいですねぇ。解ける人いるのでしょうか?いるでしょうけど、私はお手上げです。
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