留数を勉強してるのですが
求め方がどうもよくわかりません。
例えば
1/(1+z^4)の留数は1+z^4がゼロになるzが留数になる可能性があるのは
わかるんですが
なぜe^(πi/4)とe^(3πi/4)だけが留数になるのかが
よくわかりません。
あと、x^2/(x^4+5x^2+6)やf(x)cos(Θ)/g(x)の形をした
問題もどうやって留数を求めたらよいのかわかりません。
テキストにはローラン展開がどうのこうのとありますが
ローラン展開じたいのやり方は書かれておらず
ローラン展開するとどういう形になるかだけ示されていて
ローラン展開ってどうやるんだ?と言う状態です。
わかりやすく説明してくださるとありがたいです。
よろしくお願いします。

A 回答 (2件)

> 半径Rの上半面の半円状の閉区間でないなら


> 他の2つの極も含まれるんですよね?
閉じた積分路の中にある極だけが問題ですので,積分路の形によります.
例えば,半径が1より大きい全円が積分路でしたら,
4つとも極が入ります.

> テキストでは ....
> ・・・・・・・・・・
> これはこれでいいのでしょうか?

式としてはOKですが,
(1)  ∫(-∞~∞)R(x)dx
との直接の関連はなくなります.
上半面の半円ですと,積分の方は,
(2)  (実軸に沿った部分からの寄与,すなわち(1))
(3)    + (半径Rの半円部分からの寄与)
です.(3)がうまくわかれば(うまくいく場合は,ゼロのことが多い),
(4)  2πiΣ(z0∈H)Res(R(z),z0)
が (2)+(3) なのですから,(2)すなわち(1)が求められます.

もし,積分路を完全な円にしてしまうと,
(2)+(3) のところが,半径Rの全円からの寄与になってしまって,
(2)があらわれず,(1)と結びつけることができなくなってしまいます.
    • good
    • 0

複素関数論の話のようですね.



文章を見まして,留数という言葉の使い方がちょっと気になっています.
極,留数のあたりの言葉の正確な意味は大丈夫でしょうか?

1/(1+z^4)の極は
z = e^(πi/4),e^(3πi/4),e^(5πi/4),e^(7πi/4)
です.
(留数が e^(πi/4),e^(3πi/4),... とは言いません.
そこら辺が上で心配したことです.)
最初の2つだけというのは,
例えば閉じた複素積分路が複素平面の上半面の半円状になっていて,
積分路内の極が e^(πi/4),e^(3πi/4) の2つ,
というようなことではないのですか?
コーシーの留数定理では積分路外の極は関係がありません.

> ローラン展開じたいのやり方は書かれておらず
> ローラン展開するとどういう形になるかだけ示されていて
ここでは良い図も描けませんし,式も書きにくいですし,スペースも限られています.
あなたの持っているテキストにはローラン展開自体のやり方は書かれていないのかも
知れませんが,
それが書かれたテキストはたくさんあります.
図書館等で適当なテキスト探されるようおすすめします.
結局はそれが理解の早道と思います.

この回答への補足

>1/(1+z^4)の極は
>z = e^(πi/4),e^(3πi/4),e^(5πi/4),e^(7πi/4)
>です.

すみません、間違いがあったようですね。
そのとおりです。
すみません。

>例えば閉じた複素積分路が複素平面の上半面の半円状になっていて,
>積分路内の極が e^(πi/4),e^(3πi/4) の2つ,
>というようなことではないのですか?
>コーシーの留数定理では積分路外の極は関係がありません

半径Rの上半面の半円状の閉区間でないなら
他の2つの極も含まれるんですよね?
すると∫(-∞~∞)P(x)/Q(x)dxを考えた場合(R(x)=P(x)/Q(x))
テキストでは
∫(-∞~∞)R(x)dx=lim(R→∞)∫(-R~R)R(x)dx=2πiΣ(z0∈H)Res(R(z),z0)
(H:円の上半面)
とあったんですが
2πiΣ(z0∈H)Res(R(z),z0)
が下半面を含んだ円Gの場合
2πiΣ(z0∈G)Res(R(z),z0)
となり取る平面によって値が変わってくることになりますが
これはこれでいいのでしょうか?

補足日時:2002/01/25 23:59
    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

今、見られている記事はコレ!

  • 数学は日常生活に役立っているのか?専門家に聞いてみた

    3月14日は、1997年に財団法人日本数学検定協会が制定した数学の日である。あなたは学生の頃、数学は得意だっただろうか? 筆者のように得意ではなかった人なら、「将来、これが何の役に立つのだろう……」と四苦八苦...

  • この問題解けますか?「1・1・5・8」を使って10を作るパズル

    テンパズルというのをご存知でしょうか。この名前は知らなくともやったことのある方も多いと思いますが、どういうものかと言いますと、4つのひと桁の数字を足したり引いたり掛けたり割ったりして10にする、というも...

  • 数学は実生活で役立つのか

    学校で学んだ事柄が後々の仕事に役立ったなどという話は、よくあるケースですが、学んでいる最中はなかなか気づかないものです。子どもから「数学ってなんの役に立つの?」と聞かれて、数学が苦手だった親はどう答え...

  • 無駄に覚えている数字ってどのくらいあります?

    覚えたくても覚えられない数字がある一方で、なんとはなしに記憶した数字がずっと頭に残っているケースもあります。くっきりと覚えてはいるものの「多分、これ一生使わないんだろうな…」と思っている数字、今日はそ...

  • あなたも挑戦!?バカ田大学入試

    大人気ドラマ「ガリレオ」、観ている方も多いのではないでしょうか。学生時代に数学が苦手で、もう数式なんて見たくない!と思っていても、さらさらと難解な数式を操る湯川先生(福山雅治さん)の姿を見るとかっこい...

おしトピ編集部からのゆる~い質問を出題中

お題をもっとみる


このカテゴリの人気Q&Aランキング

おすすめ情報

カテゴリ