証明

AD//BCである台形ABCDにおいて、対角線ACとBDの交点Pとする。また、点Pを通り、辺BCに平行な直線lを引き、辺AB、CDとの交点をそれぞれE,Fとする。
このとき、(1/AD)＋(1/BC)＝(2/EF)を証明する問題で。

　　　　　　　A-----------D
／ ＼
　　　 ／　　　　　　　　 ＼
／　　　　　　　　　　　＼　　
　　　／　　　　　　　　　　　＼　
　　　B-------------------------C

どのように考えるか分からないのでこの書き込みは消されてしまうかもしれませんが、よろしくお願いします。
この問題をまず解くには
・AE:EB＝AD:BC
・DF:FC=AD:BC
を考えるそうですがこの比の作り方（考え方がよくわかりません。）
まとめると、
Pはこの図の中心点。
点Pを通るよく線はl
ABとDCで交わった直線lをE,Fと置く。

No.18 ベストアンサー 回答者： freedom560 回答日時： 2006/04/01 00:14

＞△APD∽△CPBよりAE:EB=AP:PC=AD:BC

△APD∽△CPBの三角形の相似から導かれるのは
ＡＰ：ＣＰ＝ＰＤ：ＰＢ＝ＡＤ：ＣＢ　です。
ＡＥやＥＢは△APD∽△CPBでは導けません。

三角形の相似による辺の比や角の関係を言うには点と点をきちんとあわせた方がいいですよ！

つまり、△ＡＰＤは点の順番がＡ，Ｐ，Ｄの順
△ＣＰＢは点の順番がＣ，Ｐ，Ｂの順なので
ＡとＣ、ＰとＰ、ＤとＢを対応させましょう。
これ以外の記号はこの相似からは言うことができません。


あと、
＞DF:FC=AP:PC=AD:BC
＞
＞DF:FC=AD:BC
だけ書かれても「何のことだろう？」と思われてしまいます。相手にわかるように

------------------------
△APD∽△CPBよりAP:CP=AD:CB・・(1)

△ADCにおいてPF//ADより
DF:FC=AP:PC・・(2)

(1)、(2)より
DF:FC=AP:PC=AD:BC

∴DF:FC=AD:BC
------------------------


というように証明では相手にわかりやすく書くことを心がけましょう。
考え方は正解です。

この回答へのお礼

丁寧な説明どうもありがとうございます。

お礼日時：2006/04/01 10:41

No.17 回答者： freedom560 回答日時： 2006/03/31 21:50

＞△APD∽△CPSから

＞AP:PC=BP:PD=AD:BC
これは△APD∽△CPSではなく、△APD∽△CPＢですね？

ＳとＢを間違えたこと以外は正解です。


これであなたがNo.6で質問した
＞・AE:EB＝AD:BC
＞・DF:FC=AD:BC
＞に近づけれるかわかりません。
の答えが出ましたね？
全く同じやり方でDF:FC=AD:BCも求められます。
気が向いたらチャレンジしてみて下さい。



この問題で覚えておくべき点は

△ＡＢＣにおいて、ＢＣに平行な直線でＡＢ、ＡＣに交わる点をそれぞれＤ、Ｅと置いたときに
△ＡＢＣ∽△ＡＤＥが成り立つので
ＡＢ：ＡＤ＝ＡＣ：ＡＥ＝ＢＣ：ＤＥが成り立つ
・・・(1)

また、
ＡＤ：ＤＢ＝ＡＥ：ＥＣ
が成り立つ・・(2)


と、
△ＡＢＣと線分ＥＰ
△ＢＡＤと線分ＥＰ
△ＣＡＤと線分ＰＦ
△ＤＢＣと線分ＰＦ
の４組がこの「△ＡＢＣにおいて、ＢＣに平行な直線でＡＢ、ＡＣに交わる点をそれぞれＤ、Ｅと置いた」ものであると全く同じ形をしていることが見えるかどうかです。
このような形が見えるかどうかはあなたがNo.13で「Dを通りACに平行な直線をひき、BCと交わる点をFとして
」と補助線を引いたのと同じくあなたの経験値にかかわってきます。このような感覚を磨くようがんばってください。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
やっとわかりました。

DF:FC=AD:BC
△APD∽△CPBよりAE:EB=AP:PC=AD:BC

△ADCより
DF:FC=AP:PC

DF:FC=AP:PC=AD:BC

DF:FC=AD:BC

になりました。

お礼日時：2006/03/31 22:53

No.16 回答者： freedom560 回答日時： 2006/03/31 10:52

＞ヒント　ＡＰ：ＰＣ　より

＞△ＡＢＣ
＞ＡＥ：ＥＢ＝ＡＰ：ＰＣ　
＞
＞△ACD
＞AP：PC=CF:DF
＞これを導くのですか？
三角形ＡＣＤと線分ＰＦをよく見ましょう。
平行なのはＡＤとＰＦですよね？？
ではAP：PC=CF:DFではなく、
ＣＰ：ＰＡ＝ＣＦ：ＦＤ　ですよ？


あなたが求めたいものは
ＡＥ：ＥＢ＝ＡＤ：ＢＣ・・(1)
ですよね？
で、これまでに
ＡＥ：ＥＢ＝ＡＰ：ＰＣ・・(2)
であることまでわかっているのです。
(1)と(2)を見比べたとき、(3)として新たに何がわかれば
(2)と(3)から(1)が言えますか？？

まずはここから考えてみましょう。
(3)がわかったらもう一度今までの内容をおさらいしてみてください。
(3)の内容がそのまま今までの回答の中に（下に）かかれてありますから。

この回答への補足

ＡＥ：ＥＢ＝ＡＤ：ＢＣ
を求めるには
△APD∽△CPSから
AP:PC=BP:PD=AD:BC

△ABCより
AE:EB=AP:PC

AE:EB=AP:PC=AD:BCより
AE:EB=AD:BC
となりました。

補足日時：2006/03/31 21:11

No.15 回答者： freedom560 回答日時： 2006/03/30 22:22

＞もう一度三角形の相似の条件を確認して

同位角が等しいなんていう条件はなかったですよね？
また、△ABC∽△ADCではないことがわかりましたか？

＞△ABC
＞AE:EB=AP:PC=EP:BC
＞△ABD
＞AE:EB=BP:PD=EP:AD
これは私が何度かすでに書いた
-----------------------------------
△ＡＢＣにおいて、ＢＣに平行な直線でＡＢ、ＡＣに交わる点をそれぞれＤ、Ｅと置いたときに
△ＡＢＣ∽△ＡＤＥが成り立つので
ＡＢ：ＡＤ＝ＡＣ：ＡＥ＝ＢＣ：ＤＥが成り立つ
・・・(1)

また、
ＡＤ：ＤＢ＝ＡＥ：ＥＣ
が成り立つ・・(2)
-----------------------------------
と見比べてください。
AE:EB=AP:PCは成り立ちますが、EP:BCは違いますよ？
EP:BCと等しいのは何ですか？


＞ＡＥ：ＥＢ＝ＡＤ：ＢＣの比には遠ざかってしまいました。
No.9の一番下の方にヒントを書いていますよ？
きちんと読みましたか？？

この回答への補足

ヒント　ＡＰ：ＰＣ　より

△ＡＢＣ
ＡＥ：ＥＢ＝ＡＰ：ＰＣ　

△ACD
AP：PC=CF:DF

これを導くのですか？

補足日時：2006/03/31 09:51

No.14 回答者： freedom560 回答日時： 2006/03/30 19:44

＞問１

＞Dを通りACに平行な直線をひき、BCと交わる点をFとして
＞△ADEと△DBFで
＞DE//BCより∠ADE=∠B
＞DF//ACより∠A＝∠BDF
＞2組の角がひとしいから
＞△ADE∽△DBF
＞AD:DB=AE:DF
＞平行四辺形DFCEDF=EC
＞ＡＤ：ＤＢ＝ＡＥ：ＥＣ
「平行四辺形DFCEDF=EC」というところを
「四角形DFCEはDE//FC、DF//ECの平行四辺形なのでDF=EC」と説明した方がよいですが、補助線を引いて平行四辺形を考えたところはすばらしいです。

＞問２
これは問１と全く同じ方法を使っているので当然正解ですが、１度証明したものを２度書くことはありません。つまり、問１の点Ｄ，Ｅをそれぞれ点Ｅ，Ｐに置き換えたものであることを書くだけで正解です。

＞問３
＞あまり自信がありませんが
＞問題２から
＞△ABCは
＞EP//BC
＞ＡＥ：ＥＢ＝ＡＰ：ＰＣ
＞△CDAは
＞PF//AD
＞CF:FD=CP:AP
以上の２つの比は確かに成り立ちます。

＞EPとPEは同じ直線状だから
「同じ直線状」とは「同じ直線上」と書きたかったのですか？
PEはEPをひっくり返したものであるので、PE=EPです。

＞EP//BC//PF//AD
＞BC//AD
＞だから
＞同位角が等しいから
三角形の相似の条件に「同位角が等しい」というものはありません。
もう一度三角形の相似の条件を確認してください。

＞△ABC∽△ADC
この２つが本当に相似になるのかもう一度考えましょう。
もしこの２つの三角形が相似ならばACが共通なので、相似というよりも合同になりませんか？

＞より
＞ＡＥ：ＥＢ＝ＡＤ：ＢＣ
△ABC∽△ADCであるとき、
ＡＢ：ＡＤ＝ＢＣ：ＤＣ＝ＡＣ：ＡＣ（＝１：１）
であることはいえても、すぐにＡＥやＥＢについて議論することはできませんよ？

この回答への補足

もう一度三角形の相似の条件を確認して
△ABC
AE:EB=AP:PC=EP:BC

△ABD
AE:EB=BP:PD=EP:AD

AE:EB=EP:BC
から
AD=(EB*EP)/AE
BC=(EB*EP)/AE
AD=BC
ＡＥ：ＥＢ＝ＡＤ：ＢＣの比には遠ざかってしまいました。
もう一度考えます

補足日時：2006/03/30 21:54

No.13 回答者： freedom560 回答日時： 2006/03/30 07:50

＞ＡＢ：ＡＤ＝ＡＣ：ＡＥ

＞を変形すると
＞AB*AE=AD*AC
＞AB=(AD*AC)/AE
比の使い方はわかりましたか？

比の使い方を知らなかったのなら仕方ないですが、こちらとしてはあなたが比の使い方を知らないということがわからなかったので、比の使い方の説明までたどり着けないわけです。

問題が比の問題なので、当然比の使い方はわかるだろうと私は推測して説明を始めるわけです。ある程度の知識があることを想定しないと、最悪「ＡＥ」という意味は何ぞやとか「＝」という記号の意味は何ぞやとかすべてを説明しないといけない羽目になります。

というわけで、wps_2005さんも書いておられるようにあなたがどこでわからないのかがわかるように相手に伝えることをまずは心がけましょう。


で、私は比の説明がしたかったわけではなくて、

△ＡＢＣにおいて、ＢＣに平行な直線でＡＢ、ＡＣに交わる点をそれぞれＤ、Ｅと置いたときに
△ＡＢＣ∽△ＡＤＥが成り立つので
ＡＢ：ＡＤ＝ＡＣ：ＡＥ＝ＢＣ：ＤＥが成り立つ
・・・(1)

また、
ＡＤ：ＤＢ＝ＡＥ：ＥＣ
が成り立つ・・(2)

が言いたかったのです。

ここは理解していただけましたか？
(1)の方は相似でそのままなので、(2)の方を証明してみてください。

つまり、
問１
△ＡＢＣにおいて、ＢＣに平行な直線でＡＢ、ＡＣに交わる点をそれぞれＤ、Ｅと置いたときに
ＡＤ：ＤＢ＝ＡＥ：ＥＣ
が成り立つことを証明してください。

また、この性質を利用して
問２
先ほどの台形の問題でＡＥ：ＥＢ＝ＡＰ：ＰＣであることを示してください。

これを利用して
問３
先ほどの台形の問題でＡＥ：ＥＢ＝ＡＤ：ＢＣであることを示してください。

そして、最後に
問４
先ほどの台形の問題でＤＦ：ＦＣ＝ＡＤ：ＢＣであることを示してください。

この回答への補足

問１
△ＡＢＣにおいて、ＢＣに平行な直線でＡＢ、ＡＣに交わる点をそれぞれＤ、Ｅと置いたときに
ＡＤ：ＤＢ＝ＡＥ：ＥＣ
が成り立つことを証明してください。


Dを通りACに平行な直線をひき、BCと交わる点をFとして
△ADEと△DBFで
DE//BCより∠ADE=∠B
DF//ACより∠A＝∠BDF
2組の角がひとしいから
△ADE∽△DBF
AD:DB=AE:DF
平行四辺形DFCEDF=EC
ＡＤ：ＤＢ＝ＡＥ：ＥＣ

問２
先ほどの台形の問題でＡＥ：ＥＢ＝ＡＰ：ＰＣであることを示してください。

Pを通りABに平行な直線をひき、BCと交わる点をGとして
△AEPと△PGCで
EP//BCより∠APE=∠C
PG//ABより∠A＝∠CPG
2組の角がひとしいから
△AEP∽△PGC
AP:PC=AE:PG
平行四辺形EBGP　PG=EB
ＡＥ：ＥＢ＝ＡＰ：ＰＣ

問３
先ほどの台形の問題でＡＥ：ＥＢ＝ＡＤ：ＢＣであることを示してください

あまり自信がありませんが
問題２から
△ABCは
EP//BC
ＡＥ：ＥＢ＝ＡＰ：ＰＣ
△CDAは
PF//AD
CF:FD=CP:AP

EPとPEは同じ直線状だから
EP//BC//PF//AD
BC//AD
だから
同位角が等しいから
△ABC∽△ADC
より
ＡＥ：ＥＢ＝ＡＤ：ＢＣ

補足日時：2006/03/30 08:55

No.12 回答者： wps_2005 回答日時： 2006/03/29 23:30

#8のお礼に返答します。

>　　AB:EB=DB:PB　　　　　((2)の相似比より)
>　　=(DP+PB):PB
>　　までやっと理解できました。
>　　AB:EB=DB:PB　　　　　((2)の相似比より)
>　　(DP+PB):PB
>　　になることがよくわかりません

同じものを「理解できました」「よくわかりません」と書かれても、何が理解できて何がわからないのかちんぷんかんぷんですが。

>　　(DP+PB)は△ADBの比
>　　AD＋BCは AD//BC

何を意味しているのでしょう??
何か呪文みたい…

>　　せっかく、回答していただいたのに本当にごめんなさい。
>　　あまりの馬鹿さに自分の頭を叩いてしまいます。

別に頭を叩かなくていいです。
わからないことに「ごめんなさい」もいりません。#8に書いたとおり、これだけでわかってもらえるとも思ってませんし。

ただ、要求したいのは、
・自分が何をわかって、何をわからないのかをきちんと把握して、それを他人にわかるように表現すること
です。そんなに簡単なことではありませんが、これができないとコミュニケーションが成り立ちません。
最低でも、自分が打ち込んだ文章を何回か読み返してから出してください。タイプミスには気づくはずです。

No.11 回答者： freedom560 回答日時： 2006/03/29 23:15

＞本当にごめんなさい。

＞何回も読んだのですが本当に理解が出来なくて本当にごめんなさい。
理解ができないことを責めているわけではありません。自分がわかる範囲を全く相手に伝えずに「わからない」と書いてしまうことを責めているのです。あなたが本当にわからないのならば、最低限自分がわかる範囲を相手に伝えましょう。そうでないと、あなたのわからないことが相手にわかりません。そうなると、誰からも答えてもらえなくなりますよ？


＞ＤＢ＝ＡＢ－ＡＤ
＞ここまでは分かりました。
＞ＡＢ－（ＡＢ×ＡＥ）／ＡＣ
＞これは「ＡＤ」と「（ＡＢ×ＡＥ）／ＡＣ」が違う＞ということは分かったのですがどうして分数や掛け＞算がでて混乱してしまいました。
こう書いてもらえればあなたが何がわからないのかこちらもわかります。しかし、「わからない」だけ書かれてもなにが「わからない」のかわからないのです。

比って知ってますか？
ａ：ｂ＝ｃ：ｄ　というやつです。
ａ：ｂ＝ｃ：ｄ　が成り立っているとき、
ｂｃ＝ａｄ　という関係式が成り立ちます。
つまり、ｂ＝ａｄ／ｃ　となります。
わかりましたか？

では、
ＡＢ：ＡＤ＝ＡＣ：ＡＥ
を同じように変形してみてください。

この回答への補足

ＡＢ：ＡＤ＝ＡＣ：ＡＥ
を変形すると
AB*AE=AD*AC
AB=(AD*AC)/AE

です。

ありがとうございます。

補足日時：2006/03/30 06:39

No.10 回答者： freedom560 回答日時： 2006/03/29 20:52

なんでも「わからない」と書くのはやめましょう。

あなたは本当に真剣に考えていますか？

＞AB:EB=DB:PB
＞から　(DP+PB):PBになることがわかりません。
「DB:PB」と「(DP+PB):PB」を見比べましょう。
この２つの式で同じ部分はどこですか？
違う部分はどこですか？
ちょっと考えたら「PB」という部分が同じ
「DB」と「(DP+PB)」の部分が違うことがわかるはずです。

つまり「ＤＢ」を「ＤＰ＋ＰＢ」と置き換えたってことですよね？

＞ＤＢ＝ＡＢ－ＡＤ
＞から
＞ＡＢ－（ＡＢ×ＡＥ）／ＡＣ
＞になることがわかりません。
これも全く同様です。
「ＡＢ－ＡＤ」と「ＡＢ－（ＡＢ×ＡＥ）／ＡＣ」の２つの式で同じ部分はどこですか？
違う部分はどこですか？
「ＡＢ－」の部分までが同じで
「ＡＤ」と「（ＡＢ×ＡＥ）／ＡＣ」までの部分が違うことがわかりませんか？

つまり「ＡＤ」を「（ＡＢ×ＡＥ）／ＡＣ」と置き換えたということがわからないですか？

せめて同じ部分と違う部分を見比べた後、違う部分だけを示して「ここがわからない」というのならまだ話はわかります。
しかし、数式変換において全く同じ部分まで「わからない」といわれては「四則計算をもっと勉強してください」としか言いようがありません。

この回答への補足

本当にごめんなさい。
何回も読んだのですが本当に理解が出来なくて本当にごめんなさい。

ＡＢ：ＡＤ＝ＡＣ：ＡＥ
だけに着目します。
ＤＢ＝ＡＢ－ＡＤ
ここまでは分かりました。
ＡＢ－（ＡＢ×ＡＥ）／ＡＣ
これは「ＡＤ」と「（ＡＢ×ＡＥ）／ＡＣ」が違うということは分かったのですがどうして分数や掛け算がでて混乱してしまいました。
AD:DB=AE:AC~DE:BCをどのように利用をするのか
本当にごめんなさい

補足日時：2006/03/29 22:29

No.9 回答者： freedom560 回答日時： 2006/03/28 23:49

＞・AE:EB＝AD:BC

＞・DF:FC=AD:BC
＞に近づけれるかわかりません。

先ほどの
△ＡＢＣにおいて、ＢＣに平行な直線でＡＢ、ＡＣに交わる点をそれぞれＤ、Ｅと置いたときに
△ＡＢＣ∽△ＡＤＥが成り立つので
ＡＢ：ＡＤ＝ＡＣ：ＡＥ＝ＢＣ：ＤＥが成り立つ
・・・(1)
の続きです。

この中の特に
ＡＢ：ＡＤ＝ＡＣ：ＡＥ
だけに着目します。
ＤＢ＝ＡＢ－ＡＤ＝ＡＢ－（ＡＢ×ＡＥ）／ＡＣ
＝ＡＢ／ＡＣ×（ＡＣ－ＡＥ）＝ＡＢ／ＡＣ×ＥＣ
∴ＡＤ：ＤＢ＝ＡＥ：ＥＣ

つまり、

△ＡＢＣにおいて、ＢＣに平行な直線でＡＢ、ＡＣに交わる点をそれぞれＤ、Ｅと置いたとき、
ＡＤ：ＤＢ＝ＡＥ：ＥＣ
が成り立つ・・(2)

がいえます。この(2)は先ほどの(1)と違って三角形の相似だけでなく多少の計算が必要になる（なりましたよね？）ので覚えておいても損はないでしょう！


この(2)を使うと、先ほど赤線で書いた△ＡＢＣと線分ＥＰにおいて
ＡＥ：ＥＢ＝ＡＰ：ＰＣ　が成り立つことがわかりますよね？


そういえば「ＡＰ：ＰＣ」ってどこかで見ませんでしたか？？

この回答への補足

ＤＢ＝ＡＢ－ＡＤ
から
ＡＢ－（ＡＢ×ＡＥ）／ＡＣ
になることがわかりません。

補足日時：2006/03/29 11:12