質問

フェルミー準位ってなんですか?式において、
n(x)=n(0)exp{-(E(x)-Ef)/kT}
のEfってことはわかるのですが、それが何を意味するかわかりません。
言葉で教えてください。

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回答 (5件)

siegmund です.

Umada さんの座席のご説明はとてもおもしろかったです.
今度,フェルミ分布の話をするときに使わせていただこうかと思っています.

> 半導体ですとバンドギャップ部分だけ座席が取り払われている教室を
> イメージすればよろしいのでしょうか・

なるほど,good idea ですね.
大講義室ですと,真ん中当たりに黒板と平行に通路がある部屋もありますね.
そういう部屋の話にしますか.
通路の前と後ろとでは座席占有確率が急に変化しそうで,
そこらへんも価電子帯と伝導帯の性質をよく反映しそうです.

> あとうまい具合にFermi準位がそこに来ているような図にしないといけないですね
そこがちょっと難しそうです.

この回答へのお礼

ぜひとも、座席の説明をしてみてください。
日常的なことを授業に入れれば、学生の反応もいいはずです。

また、何かお世話になることがあるかもしれませんが、
そのときはよろしくお願いします。

あちゃー、やっぱりボロがありましたか。siegmundさん、いつもご指摘ありがとうございます。
座席の数と状態密度の関係について「座席定員×占有確率=座っている人数」になるのは全くご指摘の通りです。座席の数はどの列でも一定として図を描きましたが、実際には列によって座席の数が異なりますよね。
半導体-金属の違いについてのご指摘もありがとうございました、勉強不足が露呈してしまいました。(半導体ですとバンドギャップ部分だけ座席が取り払われている教室をイメージすればよろしいのでしょうか・・・あとうまい具合にFermi準位がそこに来ているような図にしないといけないですね)

学生が前に座らないのは不変の真理(?)ですね。私も学生の時分は「前の方はポテンシャルが高いから、私の波動関数はその辺にはあまりないのだ」などとうそぶいて、いつも後ろに座っておりました(笑)。

この回答へのお礼

僕も授業はどちらかというと、後ろの方に座るタイプです。黒板の文字が小さい時は前列にのり出しますが・・・。

学生の中でも前に座る人と後ろに座る人でかなりわかれてるような気がします。活発な電子とそうでない電子がいるんですね。僕はどちらかというとそうでないほうかもしれないですけど・・・。

(1)  n(x)=n(0)exp{-(E(x)-Ef)/kT}
の式からすると,半導体の話のようですね.

Umada さんの解説はなかなかわかりやすく,面白い解説でした.
私の講義も後ろの方から学生が埋まります(^^;).

さて,Umada さんのご説明は,本質的に金属に対する説明です.
教授との距離がエネルギーに対応し
(後ろの方がエネルギーが低い,逆であって欲しいんですがね),
座席が横にいくつあるか(Umada さんの図では6つ)が同じエネルギーにある準位の数
(状態密度)に対応しています.
本当は状態密度はエネルギーの関数なのですが,
Umada さんの図ではわかりやすく6に固定しています.

Umada さんの説明に適合する分布関数はフェルミ-ディラックの分布関数
(2)  f(x) = 1/{exp[(Ef-E(x))/kT] + 1}
です.
(a) (2)で E(x) = Ef とおくと,f(x) = 1/2 になること
(b) (2)で T→0 とすると,E(x)<Ef なら f(x) = 1, E(x)>Ef なら f(x) = 0.
  すなわち,フェルミ準位以下は完全に占有されていて,フェルミ準位以上は空.
であることを確認してください.
なお,(2)の分母の +1 を -1にすると,
ボーズ・アインシュタイン分布関数になります.

(2)の分母の +1 を無視すると(1)のタイプになりますが,
無視できるためには
(3)  exp[(Ef-E(x))/kT] >> 1
が必要で,通常の金属ではこの条件は満たされません
(縮退している,といっています).
ところが,半導体で Ef が禁制帯内にあり,しかも上下のバンド端から十分離れていると
(3)の条件が満たされます.
このとき(2)を
(4)  f(x) = exp[-(E(x)-Ef)/kT]
の形に書くことができて,これが(1)の正体です.

繰り返しになりますが,(4)が使えるのは(3)の条件の下(つまり(4)の f <<1 )の
ときのみです.
そこら辺を考えずに(4)を使うと,フェルミ粒子なのに占有確率が1を越える
というおかしなことになります.

この回答へのお礼

Umadaさんの話がある特殊な場合に成り立つことがよくわかりました。
補足の説明大変ありがとうございます。

回答の文を見るに当たり、大学で授業をなさってるようですね。
あなたの授業のフェルミー準位が上がることを祈っています。(笑)

まず
・固体中の電子の有するエネルギーはどんな値でも自由にとれるわけでなく、いくつかのエネルギー準位に限られる。
・電子は上記の式に従ってエネルギー準位の低い方から入っていく。ただし下の準位から全部詰めて入っていくわけでなく、上記の式に従って分布する。(従って低い準位でも若干の空きがあり、一方で高い準位にも少しは入っている)
ということを思い出して下さい。これが分からないとFermi準位については分かりませんから、統計力学か電子論、固体物性の教科書をもう一度復習して下さい。

Fermi準位の理解には「大学の大部屋の講義」を思い浮かべて頂くと分かりやすいと思います。
まず座席は、前の列から後ろの列までたくさんあるとします。とりあえず30列くらいあるとしましょうか。
そこへ学生が入ってきます。学生はあまり前の方に座りたがりませんから、席は大体後ろから詰まっていきます。もちろん後ろの1列が完全に埋まってから次の1列が埋まり始めるわけでなく、後ろから2列目や3列目も早い段階から埋まり始めることでしょう。人数は少ないながらも、前の方にも何人かは熱心な学生が座っていることでしょう。図に描くと下のようになります。

座席の埋まっている数

│         
│         ■
│         ■  
│       ■■■
│  ■ ■ ■■■■
└─────────→教授との距離
 前        * 後

もう見当が付いたことと思いますが、
座席の場所(教授からの距離):エネルギー準位
横一列の中で、埋まっている座席の割合:占有確率
に対応するわけです。「前の席ほどエネルギー準位が高い」ということですね。

Fermi準位とは、「だいたいどの辺の準位まで埋まっているか」「(電子は)平均としてどの辺の準位にいるか」を表す指標です。(厳密に言うならFermi-Dirac統計で「占有確率が1/2になるエネルギー準位」)
上の図では部屋の総収容数に比べて学生が少ないですから、後ろの方に学生が少しだけ座っておしまいです。ですから「Fermi準位は低い」ということになります。だいたい*を付けた付近がFermi準位でしょう。

さて期末試験が近付いて、学生の数が増えたとしましょう。後ろは埋まってしまって、あふれた学生は必然的に前の方にも座ることになります。従って分布は下の図のようになるでしょう。


座席の埋まっている数
↑       ■■■
│      ■■■■
│     ■■■■■
│    ■■■■■■  
│   ■■■■■■■
│ ■■■■■■■■■
└─────────→教授との距離
 前    *    後

この場合は学生はやむなく前に座るわけで、Fermi準位も上がります。大体*の辺りでしょうか。「学生の平均の位置」あるいは「座席はどの辺まで埋まっているか」は、前寄りになるわけですね。

最初の
n(x)=n(0)exp{-(E(x)-Ef)/kT}
に立ち返れば、これは
n(0)exp(Ef/kT)exp{-E(x)/kT}
と書き直せますから、Fermiエネルギーは一種の規格化因子とも言えます。
エネルギー準位の数(正確には状態密度)×占有確率を前エネルギーに亘って積分すれば、それは系の全電子数に等しくなければなりません。そこで規格化因子exp(Ef/kT)が入るわけです。

私自身、多少いいかげんな理解をしている部分がありますので、上記の回答の信頼性は適当に割引いてお読みください。

この回答へのお礼

凄くわかりやすい説明で感動しました。
これで、テストでフェルミー準位について説明するとききっちりと書けます。
本当にどうもありがとうございました。

「半導体」のところで習ったような・・・。

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