高校の微積分

微積の勉強をしています。問題はそこそこ解けているのですが「dx」って結局どういう意味なのかわかりません。積分の式の後ろに「dx」を付けるのはなぜでしょうか？単独の「dx」ってどういう意味ですか？問題を解く上では困ってないのですが釈然としません。

No.3 ベストアンサー 回答者： noname#21219 回答日時： 2006/04/20 02:03

dxは、微小の長さというニュアンスのある記号

です。
例えば、単位長さ当たりの質量がρ(x)で
与えられるような、長さaの真直ぐの棒があるとします。
棒の0から距離xのところの単位長さ当たりの
質量がρ(x)ということです。つまり、位置によって
密度が違う棒です。この棒の全体の質量を求めたい時
∫ρ(x)dx[0～a]で求まります。
で、ρ(x)dxというのは、『距離xの位置における
微小長さdxの棒の質量』という意味です。
単位長さの質量×長さですから、当然といえば当然
です。

∫というのは、それらの微小部分の質量を、棒の端から端まで全て加えるぞ、ということです。微小部分は
無限にあるけど、負けずに無限に加えていくという操作です。

なお、Δxとdxは違います。Δxは純粋に「数」として
扱ってよいのですが、dxというのは、Δを極限まで
小さくしたときのΔxという意味です。dxというのはdy/dxとか
∫f(x)dxとか、前者は無限小と無限小の比、後者は
無限小量の無限の足しこみ操作、というものですが
そういうものが付随する形でしかつかえないのであり
dx単独では、本当にほぼ0となるので、使えません。

No.7 回答者： take008 回答日時： 2006/04/20 17:25

No.5 です。

「高校の微積分」とわざわざ断っている質問に，単独のｄｘ すなわち「微分」という数値でない概念を中途半端に教えるより，高校での微積分学で教えているように「単独では意味がない」という方が教育です。
もし教えるなら，よくわかるように解説してあげてください。

No.6 回答者： sanori 回答日時： 2006/04/20 15:39

＃４で回答した者です。

「ｄｘ」単独でも、ちゃーんと意味ありますよ。
ｘ軸（に平行な）方向の、ｘの次元を持った微小な幅です。
例えば、解析力学やってると、ｄｘ だの（ｄｘ）^2 だの、しょっちゅう出てきます。

分母に来るのもありますね。
電磁気学で必須である、∇という記号は、３次元ベクトルの３成分
∂／∂ｘ、∂／∂ｙ、∂／∂ｚ
ですね。


逆に、微分のほうでは、
「何で微分するのか」が一目見て分からないのがありますよね？
高校では、ｙの微分はｙ’と書きますし、物理の回転運動で角速度はθ’ですけど、・・・一体何の変数で微分するんだ？
ｙ’は、ｘでの微分であることが多く、ｘ’や θ’は、時間ｔでの微分であることが多い・・・って、滅茶苦茶で、わけわかんなくねぇ？（笑）
あと、ｑの上にドットを１個付けてみたり、２個つけてみたり。（それぞれ、ｔで１回微分、２回微分）

約束事や慣習を知っている人でなければ、一目見て絶対に分かるはずがありません。
郷に入らば郷に従えってかぁ。（笑）


いずれ、「ｄｘ」は、単独でもちゃんとした意味があり実用性もある、実に立派な記号です。

No.5 回答者： take008 回答日時： 2006/04/20 14:50

dx や dy 単独では意味がありません。

dy/dx で ｙをｘで微分した導関数
∫y dx で ｙをｘで積分した不定積分
を表します。
もし dx がなかったら，何で微分するか，何で積分するかわかりませんね。
定積分の場合，∫の上下につけた数を何に代入するかも dx の部分で指定しています。ですから置換積分のときに，正しく対応した値を∫の上下に書かなくてはいけません。

No.4 回答者： sanori 回答日時： 2006/04/20 03:33

微積分は、歴史的にも現代でも物理学（およびその応用）と密接な関係があります。

まず、
ｘを積分したら∫ｘｄｘ＝ｘ^2／２＋定数
ｘ^2積分したら∫ｘ^2ｄｘ＝ｘ^3／３＋定数
といった具合に、どんどん次数が１個増えていきますよね？
ｘの単位がメートルだとすれば、長さ→面積→体積　です。
つまり、１回積分するごとに「メートル」を１回掛け算しています。

ただ、この時点で記号「ｄｘ」を付けるメリットは見えてこないですね。


今度は、速さと距離、時刻ｔ（秒）について考えましょう。
時刻ゼロにスタート地点にいる人が、一定速度ｖ（メートル／秒）で時刻Ｔまでに進む距離は、

距離＝速さ×時間＝ｖＴ

これは、すごく簡単でしたね。
ですけど、積分でも求まります。

距離＝∫ｖ・ｄｔ＝ｖ∫１・ｄｔ＝ｖｔ＋積分定数

区間ｔ＝０～ｔ＝Ｔの定積分なので、
ｖ・Ｔ－ｖ・０＝ｖＴ

今度は、ｖがｔの関数だとしましょう。
よくあるパターンで、重力加速度９．８ｍ／ｓ^2 で等加速度直線運動する問題を考えましょうか。
時刻ｔ＝０で速さｖ＝０として、Ｔ秒後の速さは
ｖ＝９．８Ｔ
になりますが、積分で書けばさっきと同じで。
ｖ＝∫９．８・ｄｔ＝９．８∫１・ｄｔ
　＝９．８ｔ＋積分定数
区間ｔ＝０→Ｔなので、
　＝９．８×Ｔ－９．８×０
　＝９．８Ｔ
Ｔは、時刻ｔと時刻ゼロの差でしかたら、結局
ｖ＝９．８ｔ

さて、ここからが味噌です。
ｔ秒後の到達距離を求めましょう。

距離＝速さ×時間＝ｖｔ＝９．８ｔ^2
ではありません。（＝物理の教科書を参照）
ｖは定数ではなく、ｔの関数ですから、それを考慮しないと間違いです。
つまり、単純な掛け算では求められません。
そこで、
任意の時刻ｔにおける瞬間速度ｖを考えましょう。
すると、時刻ｔにおける、非常に短い時間幅Δｔを考えれば、Δｔに進む距離はｖΔｔです。
そして、ｖ＝９．８ｔですから、短い時間Δｔに進む距離は、
Δｔの間に進む距離＝ｖΔｔ＝９．８ｔΔｔ
となります。
Δをｄに書き換えれば、
微小時間ｄｔに進む距離＝ｖｄｔ＝９．８ｔｄｔ
そして、区間ｔ＝０からｔ＝Ｔまでに進むトータルの距離は
進む距離（の合計）＝∫９．８ｔｄｔ
　＝９．８∫ｔｄｔ　＝９．８ｔ^2／２＋積分定数
　＝　９．８×Ｔ^2／２－９．８×０^2/２
　＝　９．８×Ｔ^2／２

さらに、
もしも、初速があって、ｖ＝初速＋９．８ｔであれば
進む距離＝∫（初速＋９．８ｔ）ｄｔ
　＝（計算途中省略）＝　初速×Ｔ＋９．８Ｔ^2
です。
（たぶん、高校物理の教科書だと、微積分でなく図解でやってると思います。）

以上のことからわかるように、
積分というのは、実は、掛け算です。
掛けた数に単位が付いていれば、その分、掛け算の答えは次元が変わりますから、それと同じように、
「積分（掛け算）すれば、次元が変わりますよ。」
という記号がｄｘだと思ってください。
物理に限らず、大切な考え方なんですよ。


もうちょっと例を挙げてみましょうか。

【底辺Ａ、高さＢの直角三角形の面積】
これは、座標（０，０）と座標（Ａ，Ｂ）を結ぶ直線の下側部分の、幅がｄｘ、長さがＢ／Ａ・ｘの短ざくの集合体である。
だから、１つの短冊の面積は、Ｂ／Ａ・ｘ・ｄｘ

直角三角形の面積　＝∫Ｂ／Ａ・ｘ・ｄｘ
　＝Ｂ／Ａ・ｘ^2／２＋積分定数
（区間がｘ＝０→Ａなので）
＝Ｂ／Ａ・Ａ^2／２　＝ＡＢ／２
＝底辺×高さ÷２


【円の面積】
円周率πの定義より、円周の長さ＝２πｒ　（ｒは半径）
中心をｘ＝０とし、半径方向の距離をｘと置けば、
円の面積とはすなわち、微小厚さｄｘで１周の長さ２πｘの、細いドーナツ型の集合体。
１つのドーナツの面積は、太さｄｘで長さ２πｘの短冊と同じなので、２πｘ・ｄｘ
だから、これを合計（積分）すれば円の面積になる。
∫２πｘ・ｄｘ＝πｘ^2＋積分定数　（区間ｘ＝０→ｒ）
　＝πｒ^2　＝半径×半径×３．１４


【円錐や角錐の体積】
底面積をＳ、高さをｈと置く。
底面を高さに垂直に切った断面は、底面と相似な図形であり、その面積は頂点からの距離ｘの２乗に比例する。
頂点からの距離ｘにおける断面積は、（ちょっと途中の説明をはしょりますが）ｘ^2・Ｓ／ｈ^2
これに厚さｄｘを与えれば、厚さｄｘの薄い板の体積は、
ｘ^2Ｓ／ｈ^2・ｄｘ
これをｘ＝０からｘ＝ｈまで合計（積分）すれば、円錐・角錐の体積。
∫ｘ^2Ｓ／ｈ^2・ｄｘ　＝　Ｓ／ｈ^2・∫ｘ^2ｄｘ
　＝　Ｓ／ｈ^2・ｘ^3／３　＋積分定数
（区間ｘ＝０→ｈなので）
　＝　Ｓ・ｈ／３
　＝　底面積×高さ÷３


以上の私の説明の式において、等号で結ばれている左と右の量の次元（単位）が常に一致していることを確認してみてください。
「ｄｘ」という「単位のある量」を表す記号をつける意味というのは、まさに、そこにあるんですよ。

No.2 回答者： gengen4 回答日時： 2006/04/20 01:51

dx ていうのは微小変化のことでございます。

ちょいと難しい説明になるのですが…
　たとえばｙ＝ｘ＾２っていうグラフがありました。
このグラフはどっからどうみてもｙ＝ｘ＾２です。しかし、このグラフ。ｘを２から2.000000000000001まで増加したとき、その増加の仕方はy=2xとなんら差がありません。微小変化の世界では、y=x^2はy=2xと同一視できるわけです。
　ある有名な都市にでかけました。人がたくさんいて騒がしいです。しかし、この景色を上空からみたら人間は米粒程度にも見えず、ビルなどだいたいの景色が見えるくらいです。
　上空から見ると、y=x^2だったのに、地上に降りてみると、y=2xに見えるようなものです。
　普通に見ると、y=x^2に見えたのに、微小変化の世界に入ったら、y=2xに見えちゃった。というのが微分です。
　微分というのは、上空から見ていたものを、地上に降りて見ることです。微小変化の世界に入りこむと、y=x^2がy=2xに見える。ほんとうに微細に分けてみたら、グラフがどう見えるの？というのが微分です。
　はい。微分の意味はこんな感じです。難しい言葉を使えばミクロとマクロです。
　
　ｄｘっていうのは例えばｘが２から2.0000000000001に増加したときのように微小変化のことです。微小変化の世界に入ったことを示します。
　ｄｙ/ｄｘっていうのは、微小変化の世界の平均変化率のことです。
　積分というのは微分の世界で微細に分けた部品を積み重ねる作業です。インテグラル記号はΣ記号とほとんど同義語で微細に分けたｄｘを全部足すという意味です。
　
　なんか分かりにくくてすみません。微分理解の手がかりになればうれしいです。

No.1 回答者： massunranger 回答日時： 2006/04/20 00:20

dxってｘで微分しているってコトだと思います。

∫が積分記号で、dxはその式がｘで微分しているってコトだと思っていたんですが。

例えば
ｙ´＝２ｘ

の場合　ｙ＝∫２ｘｄｘ　ですが

２ｘはｘで微分しているよってことでｄｘ付けてるはずです。