方程式のいろいろ 「集合方程式3C=C∪(C+2)」「四元数を解とする方程式」「行列方程式」

いつもお世話になります。
一般に方程式とは、
未知のxなどの文字を含む等式のこと
ですが、
普通の「方程式」は実数または複素数の中から解を探します。

「不定方程式」とは、整数の中から解を探します。

ところで、ハミルトンの四元数の中から解を探す方程式ってあるのでしょうか？

また「行列方程式」って、あまり聞きません。
たとえば、Xを未知の2x2行列,Eを単位行列として、
X^2=E
を解こうとしても、解はたくさんあり、役立ちそうにもなさそうですが、有用な分野ってあるのでしょうか？

また、「実数の部分集合」の中から解を探す方程式というのがあります。
「集合方程式」です。
たとえば、
http://mathweb.sc.niigata-u.ac.jp/~akiyama/paper …
に、3C=C∪(C+2)という集合方程式が紹介されています。
カントール集合C
ja.wikipedia.org/wiki/カントール集合
がその集合方程式を満たすそうですが、満たすのは理解できたとしても、解の一意性というか、つまり、3C=C∪(C+2)を直接どうといてよいかが分かりません。

いろいろ質問が多くて恐縮ですが、有能な方が多いこのサイトで質問させていただきました。

No.2 ベストアンサー 回答者： kabaokaba 回答日時： 2006/05/01 16:02

>しかし、ハミルトンの四元数は、そういった方程式になんらか関連しているとは聞いたことが無いのです。

これは四元数がでてる本（啓蒙的な書籍か数学史の書籍の方が多分くわしい）を見れば大抵出てますが。。。
虚数単位 i は a^2+b^2 の因数分解で必要です
それなら， a^2+b^2+c^2+d^2 ならどうなる？
という発想で出てきたのが四元数です

もっとも四元数は行列で表現できるので，
あんまり使わないですけども
数学的には行列の枠組みで処理する方が多いです

代数的には四元数は
「これ以上大きい数の体系で都合のよいものはない」
（実数上の多元体で最大のもの）
ですし、「回転」ができるので面白いですけど，
やっぱりあんまり「数学では」使いません．

>解全体の集合自体が重要になるとは、新鮮な認識でした
今の数学のほとんどが「解の集合」を
相手にしているといってもいいはずです．

この回答へのお礼

ありがとうございます。遅くなりすみません。
a^2+b^2+c^2+d^2の因数分解とははじめて知りました。
優秀なご回答に感謝です。
ところで、
x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x+yω+zω^2)(x+yω^2+zω)
の因数分解は３次方程式の解法に使われますが、因数分解からなにかが生まれる、というのはおもしろいですね。

お礼日時：2006/05/16 20:41

No.1 回答者： kabaokaba 回答日時： 2006/04/30 16:36

>普通の「方程式」は実数または複素数の中から解を探します。

これは大体の了解を得られるでしょう

>「不定方程式」とは、整数の中から解を探します。
そんなことはありません．
文脈に依存します．
一般には「解が一意に存在しない方程式」くらいの意味で
整数解まで限定しません．

>ハミルトンの四元数の中から解を探す方程式ってあるのでしょうか？
当然ありますが，四元数までくると
一般的な環や体の理論の中で議論されるでしょうから
わざわざ四元数とかに限定しないだけです．
必要があれば四元数で処理するだけでしょう。。

もっとも複素数係数の代数方程式は
複素数の中で解をもつので
複素係数の場合は四元数まで
拡張する意味は全くありません
代数方程式ではない場合は，
ケースバイケースでしょう．


>また「行列方程式」って、あまり聞きません。
わざわざそういう名前をつけてないだけです
ある意味ではつけるまでもない一般的なものです

一定の条件を満たす行列の集合は
いろいろと深い構造をもっています
解が一意ではなくても解全体の集合自体が
重要なケースはたくさんあります
ユニタリ行列とかエルミート行列なんていう
ものの定義も参照してみてください
＃むしろ一意に決まるものの方が
＃構造としては面白くない（豊かではない）．
＃連立方程式だって解が一意に決まらないときのほうが
＃面白いでしょう

集合方程式（区間方程式）に関しては
数学よりも工学寄りかもしれません
電子情報通信学会和文論文誌の
どこかの分冊（多分D分冊）で
で見たことがありますが
これは勉強したことがないのでパスです

この回答へのお礼

ありがとうございます。
整数の中から解を探す方程式は、ディオファントス方程式と呼ぶほうがふさわしいかもしれないですね。

四元数の中から解を探す方程式って。
方程式を解くために、自然数から負、有理数、根号、虚数といった新しい「数」が生み出されてきたと、聞きます。
しかし、ハミルトンの四元数は、そういった方程式になんらか関連しているとは聞いたことが無いのです。
もしご存知であれば教えていただけ無いでしょうか？
（ちなみに、四元数は、３次元の回転や、または、複素数に新しい元jを付け足した体として導入されたとは聞いたことがあります。）

ユニタリ行列なども行列方程式の一種と考えるかとができるのですね。なるほど。
解全体の集合自体が重要になるとは、新鮮な認識でした。思い返せば、x^2+y^2=1もそうですね

区間方程式という用語ははじめて聞きました。集合方程式ともども検索しても、あまり出てきませんね。普通にメジャーな分野を勉強していたら、一生、でてこないこともあるかもしれないですね。

あと方程式の仲間に、関数方程式（微分方程式・積分方程式）、差分方程式があると思いますが、それ以外にはあるでしょうか？

お礼日時：2006/05/01 10:09