No.1ベストアンサー
- 回答日時:
この問題の解法の大まかな流れを言います。
まず、その2次形式の表示は、ある座標(a,b,c,d)に関する表示です。
それは、行列の掛け算法則を使えば、次のように書けます:
5a・a+3b・b+4c・c+6d・d-2√2a・c =(a,b,c,d)A[t^(a,b,c,d)] ---(1)
ただし、Aは4×4対称行列
5 0 ‐√2 0
0 3 0 0
‐√2 0 4 0
0 0 0 6
のこととしました。
この対称行列Aは、ある直交行列Pによって対角化できます。
(このことは一般論です。これの証明は長くてとてもここで説明する気に
なりません。) つまり、Aの固有値を重複も込めて、α、β、γ、δとし、
それぞれに属する長さ1の固有ベクトルをp1、p2、p3、p4とするとき、
必要ならこれらを直交化しておいて、直交行列Pを、
P=[p1、p2、p3、p4]
としてつくる。このとき、
(t^P)AP=
α000
0β00
00γ0
000δ
という式が成り立つ。右辺の対角行列を〈α,β,γ,δ〉と書くことにする。
そこで、新しい座標系(x,y,z,w)を、
(x,y,z,w)=(a,b,c,d)P
で定めると(つまり、座標(x,y,z,w)と座標(a,b,c,d)との間の対応を
与えた)、式(1)は、つぎのようになる:
(a,b,c,d)A[t^(a,b,c,d)]=(x,y,z,w)(t^P)AP[t^(x,y,z,w)]
=(x,y,z,w)〈α,β,γ,δ〉(x,y,z,w)
=αx^2+βy^2+γz^2+δw^2
こうして、座標の直交変換をすることで、標準形が得られる。
だいたいこんな感じでこの問題は解きます。もっと詳しく知りたければ、
具体的にこの部分がわからないということを言ってください。
この回答へのお礼
お礼日時:2002/02/08 11:26
ご丁寧な説明ありがとうございました。解法の流れはなんとなくわかりました。Aの固有値は3と6でどちらも重解ですよね。α、β、γ、δが3、3、6、6ということですよね。(a,b,c,d)A[t^(a,b,c,d)]=3x^2+3y^2+6z^2+6w^2ということで直交変換すればよいのでしょうか?
No.2
- 回答日時:
>(a,b,c,d)A[t^(a,b,c,d)]=3x^2+3y^2+6z^2+6w^2ということで
>直交変換すればよいのでしょうか?
はい、標準形はその形になります。ただ、どのように座標の直交変換をしたのかを
明示しなければならないと思いますので、そのときは、No.1で示したように、
固有値3と6に対する固有ベクトル(この場合、属する固有ベクトルで1次独立な
ものがそれぞれ2つずつとれる)を直交するものをそれぞれ2つずつとって、
p1,p2;p3,p4とし、直交行列PをNo.1のように定義して、座標の変換の式を
提示しないといけません。
また、わからないことがあれば、なんなりと。
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