三角錐と三角柱と直方体の頂点、辺、面

三角錐と三角柱と直方体の頂点、辺、面の個数を調べたときに、どんな法則がありますか？

No.1 回答者： ranx 回答日時： 2002/02/06 00:52

これらの立体に限ったことではありませんが

(頂点の個数)＋(面の個数)－(辺の個数)＝２
オイラーの法則ですね。

No.2 回答者： prome 回答日時： 2002/02/06 15:55

これは位相幾何学（トポロジー）でいうところのオイラーの法則で、

ranxさんのおっしゃるとおり、
（頂点の個数）－（辺の個数）＋（面の個数）＝２
が成り立ちます。
いわゆる位相不変量と呼ばれるもので、切ったりつないだりすると
変わりますが、曲げたり伸ばしたりしても変わることのない量です。
三角錐、三角柱、直方体はすべて球面（球の表面の部分）と同位相
（曲げたり伸ばしたりして、互いに変形可能という意味）です。

ちなみにドーナツ型の曲面だとこの量は０になります。
確か一般的に（頂点の個数）－（辺の個数）＋（面の個数）＝２－２ｇ
が成り立ったと記憶しています（ｇは曲面の穴の個数）。

No.3 ベストアンサー 回答者： kony0 回答日時： 2002/02/07 01:32

蛇足かもしれませんが、オイラーの法則について、塾で教えていたときの中２の幾何の教材の読み物ページにこんなものを載せていました。

（ちなみに私はトポロジーのお話自体はまったく知らない素人です^^;）あくまで直感勝負で。（笑）

(1)まず、立体の面を１つ取り除き、その立体を「ぶにゅ～っと」つぶして平面にする。
(2)そこから辺を１つずつ取り除く。そうすると、
(2-1)面が１つなくなるか、
(2-2)頂点が１つなくなるか、のどちらか１つの現象が起こる。
(3)つまり（頂点）－（辺）＋（面）の値はこの作業により不変であることがわかる。
(4)(2)の作業を繰り返すと、すべての辺を取り除く直前で、●－－－●（頂点－辺－頂点）という図になる。ここで最後の作業として(2-2)が起こり、頂点が１つだけ残る。
(5)(4)の頂点１つと(1)ではじめに取り除いた面１つも考えて、（頂点）－（辺）＋（面）＝２が成り立つ。

確かなんとなく、大きな箱の上に小さな箱を乗せてくっつけ、鏡餅のような立体を作った場合は、面どうしをくっつけた数、というのもパラメータに入ってきていたような気がします。CADのシステムを組まれる方とかはこういう話にお強いのでしょうか？