z=f(y-x)+g(y-x)
からf,gを消去して偏微分方程式をつくれ。という問題で、
私の出した答えは

∂z/∂x= -f '(y-x)-g '(y-x)
∂z/∂y= f '(y-x)+g '(y-x)
f '(y-x)とかは(y-x)に関する導関数という意味。

だから ∂z/∂x + ∂z/∂y=0  という答えを出したんだけど、解答を見ると

(∂^2/∂x^2)z - (∂^2/∂y^2)z =0 になっているんですよね。 

確かに2階微分でも問題を満たしているけど、なぜ1階微分の私の解答じゃないの?それだったら、 (∂^3/∂x^3)z + (∂^3/∂y^3)z =0 とか4階微分とかでも答えになるじゃん? 
 だれか教えてくんさい。

出展はサイエンス社 演習微分方程式(あの有名な黄色いシリーズ)のP4からです。

A 回答 (4件)

t,x,yをそれぞれ実数の変数とする



「f(t),g(t)をそれぞれ2階連続微分可能なtの関数とし
z=f(x-y)+g(x+y)とすれば
(∂/∂x)^2・z=(∂/∂y)^2・zである」
逆に
「(∂/∂x)^2・z=(∂/∂y)^2・zならば
tの関数f(t),tの関数g(t)がそれぞれ存在し
z=f(x-y)+g(x+y)である」

後半がどうしてかというと
(∂/∂x)^2・z=(∂/∂y)^2・zであるとする
u=x+y,v=x-yとおく
するとx=(u+v)/2,y=(u-v)/2である
さらに∂x/∂u=0.5,∂x/∂v=0.5,
∂y/∂u=0.5,∂y/∂v=-0.5である
zをuで微分して
∂z/∂u=(∂z/∂x)・(∂x/∂u)+(∂z/∂y)・(∂y/∂u)
=0.5・(∂/∂x+∂/∂y)・z
∂z/∂uをvで微分して
∂∂z/(∂v∂u)=0.25・((∂/∂x)^2-(∂/∂y)^2)・z
+0.25・(∂∂/(∂y∂x)-∂∂/(∂x∂y))・z=0
従って∂∂z/(∂v∂u)=0である
従ってa(t)をtの可積分関数として
∂z/∂u=a(u)
従ってb(t)をtの関数として
z=∫(0~u)ds・a(s)+b(v)である
改めてf(t)≡∫(0~t)ds・a(s),g(t)≡b(t)とおき
z=f(u)+g(v)すなわち
z=f(x+y)+g(x-y)である

だから微分の階数を増やすのは必要十分性を壊すので好ましくないのです
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この回答へのお礼

なるほど。不用意に微分階数を増やすのは確かに好ましくありませんね。
大学入試(旧過程)問題の気分でやっていました。
あの頃は受験生を困らす為でしょうか、不用意な微分記号や積分記号が入っていた事があったんで。
さすがに大学生用の演習書で不用意な微分をしている問題は出しませんね。
解決しました。大変助かりました。ありがとうございました。
nuubouさん、siegmuntさんの双方に20Pt付けたい位なのですが、一番乗りで回答頂けたし、面倒な数式の記述までしていただいたnuubouさんに20Pt。

お二人ともありがとうございました。

お礼日時:2002/02/09 14:12

siegmund です.



>  z=f(y-x)+g(y-x)
> という問題だったら
>  z=h(y-x)
> という式と同じだし、解答は私のになりますよね。
zuri1000 さんの言われる通りと思います.

zuri1000 さんも nuubou さんも書かれていますように,
f(y-x)+g(y-x) だったら h(y-x) と書けばいいわけですから,
問題が違っている(たぶんミスプリなのでしょう)としか思えません.
答が z=f(y-x)+g(y+x) に適合する答になっているようですから,
なおさらその感を深くしますね.

校正というのはなかなか大変です.
私も,ここの回答でときどきミスタイプしています.
特に数式のチェックは大変です.
多くの人に使われている有名な岩波の数学公式集があります.
出版以来40年以上経っていますが,いまだにミスプリがみつかるようです.
私も数個見つけています.
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この回答へのお礼

なんと、数学公式集にもミスプリがあったのですか。油断できませんね。
他の微分方程式の本を見ても、z=f(y-x)+g(y+x) の形は有名だし、物理の
方は見飽きるほど見てる関数ですものね。

z=f(y-x)+g(y+x)
の間違いということで納得することにしました。ありがとうございました。

お礼日時:2002/02/09 14:00

私も nuubou さんと同意見です.


物理的には,1次元の波動で,
変位が x 軸の正方向への進行波と負方向への進行波の和の形に書かれているとき,
変位の満たす偏微分方程式を求める話です.
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この回答へのお礼

いつもご解答ありがとうございます。
もし、問題の記述が
z=f(y-x)+g(y+x)
であれば確かに波動方程式ですね。
でも、物理の問題ではなく、純粋に
 z=f(y-x)+g(y-x)
という問題だったら
 z=h(y-x)
という式と同じだし、解答は私のになりますよね。要は私の解答でいいのか、もしくはサイエンス社の同書が間違っているのかの確信を持ちたいです。

お礼日時:2002/02/09 02:23

z=f(y-x)+g(y-x)



z=f(y-x)+g(y+x)
の間違いでは?
そうでないと
z=h(y-x)
と同じになっちゃうのでは
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この回答へのお礼

> z=h(y-x)
>と同じになっちゃうのでは

私もそう思いました。今、手元の同書を見ながら確認してますが、解答も問題も
z=f(y-x)+g(y-x)
の記述になっているんですよね。1977年から現在まで改訂が一度もされてないから
 z=f(y-x)+g(y+x)
の間違いかもしれませんね。ありがとうございます。

お礼日時:2002/02/09 02:16

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