相対性理論の「双子のパラドックス」について

最近、こちらで相対性理論の「双子のパラドックス」について質問した方がいて、それに対して回答を書いている途中疑問が生じました。

一般には、二つの慣性系が二度遭遇するためには、少なくともどちらか一方が加速度を受ける必要があるので同等な条件になるとは限らないため、時間の進み方に違いが生じても矛盾はないと説明されています。

私もそのように回答しようと思ったのですが、しかしよく考えてみると、相対性理論では、宇宙空間が正の曲率を持つことを禁じていません。この場合には、一旦すれ違った二つの慣性系は、いずれまた再会することになります。この時両方の慣性系には、何の加速度もかかりません。

このような条件の下でも、双子のパラドックスを回避する説明は可能でしょうか？相対性理論に詳しい方、御回答よろしくお願いいたします。

No.10 回答者： nanashisan 回答日時： 2006/05/15 23:55

相対速度がありますから互いの速度は遅れて観測されます。

間違いなく特殊相対論です。

No.9 回答者： nanashisan 回答日時： 2006/05/15 18:17

一度すれ違ってからもう一度すれ違うまで、どちらから見ても全く同じ時間になります。

どこにもパラドックス入り込む余地はありません。

なお、これは純粋に特殊相対論の問題であって一般相対論の問題ではありません。

この回答への補足

・・・。もしどちらの慣性系でも時間の進度が同じなら、各々の慣性系で観測される光速は異なってしまいます。

もはや特殊か一般かという以前に、相対性理論ですらありません。

補足日時：2006/05/15 23:22

No.8 回答者： shiara 回答日時： 2006/05/13 23:36

　私の方もこれで最後にします。

　「空間の曲がりこそが本質で、重力とは空間の歪みを認知する現象にすぎません。」が思い込みである可能性もあります。光が重力によって曲がるのは、光がエネルギーを持つから、と考えればよいだけです。
　そもそも空間が曲がっているとはどういうことか、よく考えてみるとよいでしょう。今、球の表面に平行線を引くことを考えます。よく知られているように、球の表面は曲がった2次元空間で、平行線を引くことはできません。何故でしょう。それは、2次元空間だけで見れば直線であっても、球の表面に無理やりに沿わせて線を引くため、実際は線が曲がってしまうからです。空間がそのような曲がりを要求するからです。純粋に数学だけを考えれば、空間がそのような性質を持つ、と定義すれば終わりですが、現実の世界ではそれでは済みません。曲がる以上、力が働かなければならないのです。それが重力です。現実の世界の曲がりは、重力が働かなければ意味がないのです。
　重力方程式を導くときのことを考えてみてください。重力方程式は、ニュートンの重力ポテンシャルの式を手本にして求められます。一般相対性理論は万有引力を拡張したものであり、物体間に働く力を記述するものに過ぎません。物質の無い空間を議論することこそ、不毛な議論と言えるでしょう。

No.7 回答者： shiara 回答日時： 2006/05/13 15:28

　「「重力によって物体が力を受け、運動の状態が変わっていくさまが、曲がった空間として記述されるだけ」というのは、あなたの思い込みにすぎません。

」ということですが、私は思い込みで話をしている訳ではありません。一般相対性理論は、等価原理によって一般座標変換に対し不変な形式にしつつ、万有引力の法則を四次元に拡張したものです。あくまで、物体同士がどのように力を及ぼしあうかを記述するものです。空間の曲がりというのは便宜上のものに過ぎません。私は一般相対性理論をこのように理解した上で、これまでの回答を行っております。物質の存在しない空間の曲がりを論じることは、物理的な意味はないと主張します。

この回答への補足

不毛な議論はこれで最後にします。

初めに述べたように、三次元における曲率がすべての方向に同じなら、それは力として認知されません。したがって重力が発生しない空間は平坦であるというあなたの主張は「誤り」です。

「空間の曲がりというのは便宜上のものに過ぎない」という主張も思い込みにすぎません。相対性理論では空間の曲がりこそが本質で、重力とは空間の歪みを認知する現象にすぎません。そうでなければ、本質的に運動量のみが存在し質量を持たない光が、重力によって曲げられることが説明できません。

「物質の存在しない空間の曲がりを論じることは、物理的な意味はないと主張する」人がいるので、「ド・シッター空間でなく、アインシュタインの宇宙モデルで論じてもよい」と断っているのです。

補足日時：2006/05/13 16:02

No.6 回答者： shiara 回答日時： 2006/05/13 11:26

　No3です。

重力と関係のない空間の曲がりを考えることは意味がありません。私は、一般相対性理論が誤解されて（一般的に）理解されていると考えています。空間の曲がりとは、物体の運動を考える場合にのみ意味を持っていると考えるべきです。つまり、重力によって物体が力を受け、運動の状態が変わっていくさまが、曲がった空間として記述されるだけです。したがって、力を受けない曲がった空間という物自体が、現実には存在しないものと考えます。

この回答への補足

同じことの繰り返しになりますが、「重力によって物体が力を受け、運動の状態が変わっていくさまが、曲がった空間として記述されるだけ」というのは、あなたの思い込みにすぎません。

もしあなたの主張が正しいのであれば、宇宙が平坦なのか、あるいは曲がっているのかは、地球が受ける加速度を測定すればわかることになりますが、そのような主張をする人は皆無です。

相対性理論における運動方程式はＸ，Ｙ，Ｚの位置座標と時間ｔのみの関数です。したがって、これらが互いに直交していさえすれば、より高い次元で空間が閉じていようと、発散していようと、方程式の成立には影響しないのです。

補足日時：2006/05/13 13:53

No.5 回答者： sekisei 回答日時： 2006/05/13 02:15

No4です、たびたびすいません。

前回の回答の件は了解しました。

双子のパラドックスですが、これは出発と帰還時に兄弟が同じ慣性系で時計を（時間の経過）を比較しなければいけなかったと思います。

ですから、宇宙を一周しても折り返しポイントでの加減速がないだけで出発と帰還時に加速減速を入れる必要があるのではないでしょうか。

そうでないと互いに違う慣性系での時間間隔の比較になってしまい時間の流れが違っても問題ないのではないかと思います。

この回答へのお礼

>双子のパラドックスですが、これは出発と帰還時に兄弟が同じ慣性系で時計を（時間の経過）を比較しなければいけなかったと思います。

そのような制約はありません。「双子」とは同じように経時変化をする二つの物体を象徴したもので、その条件を満たせば何でもかまいません。

例えば二つの慣性系がすれ違った時に互いに原子時計を用いた時間計測を開始し、次に遭遇したときに計測を停止して経過した時間を比較する、でも良いのです。

問題なのは、相対性理論では両方の慣性系の位置座標を固定しないと「同時」という概念が成立しないことで、ユークリッド空間ではどちらかが加減速しないと再び同じ座標に戻れないため測定の終了ができないのですが、非ユークリッド空間ではそれが可能なために矛盾が生じてしまうのです。

お礼日時：2006/05/13 02:57

No.4 回答者： sekisei 回答日時： 2006/05/13 01:18

全く自信がないので的外れな回答になってましたらすいません。

まずご質問はボールの表面のように丸まった空間であれば・・という理解をしています。（間違ってたらすいません）

この場合まず、最初に時計あわせ（例えば1秒の間隔あわせ）をするために互いに静止していないといけないのではないかと思います。
その状態から例えば片方がある方向へある速度で運動して宇宙を一周して戻ってくるには少なくとも一回は加速をしないといけないと思います。

そこで進み方に違いがでるのではないでしょうか。

自信ないですが・・・。

この回答へのお礼

アドバイスをいただき、ありがとうございます。

>ご質問はボールの表面のように丸まった空間であれば・・という理解をしています。

はい、その通りです。二次元のド・シッター空間は球面になります。

>この場合まず、最初に時計あわせ（例えば1秒の間隔あわせ）をするために互いに静止していないといけないのではないかと思います。

この点は正しくありません。相対性理論では、あらゆる慣性系において物理定数は同じですから、例えば原子時計を使えば1秒の間隔あわせをする必要はありません。必要なのは「計測を開始する」というスタートの合図だけで、これは互いに静止している必要はなく、信号のやり取りが可能であれば十分です。

お礼日時：2006/05/13 01:46

No.3 回答者： shiara 回答日時： 2006/05/12 22:31

　曲率がゼロでない、という時点で、そこに物体があれば、力を受けるのではないでしょうか。

というより、重力という力を受けて運動するさまが空間の曲がりとして記述される、と考えるべきでしょう。

この回答への補足

すべての方向に対して曲率が等しい場合、曲率が０でなくても力は受けません。言うまでもないことですが、空間の曲がり＝重力場ではありません。

ド・シッター空間内の運動が想定しにくいなら、宇宙項を加えたアインシュタインの境界の無い宇宙モデルでもかまいません。

補足日時：2006/05/12 22:39

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2006/05/12 16:59

#1 です. 同じく本に書いてあることを鵜呑みですがこっちかなぁ?

シュバルツシルト半径 r_g の物体 A の周囲を, 距離 r だけ離れたところの静止している物体 B の時間の進み方は
τ0 = √(1 - r_g/r) t
(ただし t は無限遠における時間の進み方)
となる. 一方, 同じ距離だけ離れた円軌道を速度 v で周回する物体 C の時間の進み方は
τv = √(1 - 3r_g / 2r) t = √(1 - (v/c)^2) τ0
今閉じた宇宙を考えるんだけど, 要するに「宇宙を閉じさせるほど巨大な質量の物体の周囲」を考えればよく, 止まっている物体に対して 1周してきた物体では時間の進み方に √(1 - (v/c)^2) だけの違いがある.

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。ですがここで問題にしているのは、重力場のように曲率に方向性がある空間ではありません。その場合運動している物体が元の位置に戻ってくるためには、必ず力を受ける必要があるため、慣性系にはならないのです。

問題なのは、ド・シッター空間のように等方向性の正の曲率を持つミンコフスキー空間の場合で、その中を相対的に運動する二つの慣性系において、双子のパラドックスを生じさせないためには、絶対静止座標の設定が必要なのではないか？というのが質問の主旨なのです。

お礼日時：2006/05/12 19:49

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2006/05/11 18:26

一般相対性理論を理解しているわけではありません. 本を (表面的に解釈して) 写してるだけ:

時空の曲がりは 0 でない Riemann テンソルで表され, それを縮約した Ricci テンソルも 0 でない. その結果接続や計量成分に 0 でないものが現れ, 結果的に一周して戻ってきても時計の進みは同じにならない....
自分で書いてもわけわからん. 大雑把かつ不正確にいうと
時空が曲がっているということは重力が存在すると思ってよく, その重力場の下での運動だから時計の進み方は違っても不思議ではない.
ってことかなぁ?