a,b,cは連続する正の奇数で、a<b<c<とする。二次方程式 3X^2ー2X(2a+b+4c)ー(4a^2+b^2ー4c^2+4ac)=0 の解が2つとも正の整数のとき、その2つの解を求めよ。

という問題なんですがどうしても解けません。誰か教えて下さい。

A 回答 (5件)

siegmund です.



> 3X^2 - 2(14n+11)X - (20n^2-44n-43) = 0
> となりました。(あっているかチェックしてください)
私も全く同じ結果です.

> 計算がごつくて...
本質と関係ないところで無用に複雑ですね.

2正根ですから
判別式 > 0
1次の係数 < 0  (これは式からOK)
定数項 > 0
ですが,判別式からは n>1 しか意味のある条件は出ません.
定数項の条件から kony0 さんの言われるとおり,n =1,2 が可能ですが,
どちらも整数解にはなりません.

No.3 の回答を書いたときには,こういう理由から
> 問題に間違いはないでしょうか?
と書きました.
結局,kony0 さんと同結論です.
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この回答へのお礼

問題を確認してみましたが、間違いはないようです。友達にもらった問題なので、もう一度友達にも確認してみます。解き方はわかったので、あとは自分の力でやってみようと思います。ありがとうございました。

お礼日時:2002/02/10 12:59

といいながら、代入してみました。


しかし、計算がごつくてまったくあっている自信がないです。ごめんなさい。(^^;)

とりあえず、(a,b,c)=(2n-1,2n+1,2n+3)とすると、
3X^2 - 2(14n+11)X - (20n^2-44n-43) = 0
となりました。(あっているかチェックしてください)

ここで、問題の条件より、nは正の整数となります。

さて、実は私はこの問題は、「解なし」と思っています。というのも、
解が2つとも「正の」(整)数となるためには、少なくとも定数項が正でなくてはなりません。(解と係数の関係より明らか。中3生とのことですが、この問題を解くのだから、当然知ってますよね?)
つまり20n^2-44n-43<0であることが必要です。
ここで、n>=3のとき、上式の左辺は正となるので範囲からはずれてしまい、
nとして可能性のある数はn=1,2に絞られます。

整数問題では、未知数の値の範囲を絞ることが非常に重要で、ここまでくればあとはあてはめでもなんでも適当にやってもらえるとわかると思います。

で、あてはめてみると。。。解がないんです。(ここらも計算間違っているかもしれませんが^^;)

ところで、2次方程式の整数解問題はかぁなり難しくて、せいぜい文字係数が1次(Xの係数、定数項とも)の問題ならば、解と係数の関係を使って解けるのですが、本問のように定数項がnの2次式の場合、かなり面倒くさいです。
その中でも、もとの2次方程式の判別式を考えて(Xの係数がnの1次式の場合、nに関する2次式になります)その2乗の項が負の場合は、判別式が正であるという条件からnの範囲がある程度絞れるのですが、本問ではそれにも該当せず、判別式が正という条件でも値が絞れません。こうなるとたいがいお手上げです。
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筋はお二人の言われるように,


係数を何か1つの文字で表して,
まず2正根の条件から n なり b なりの範囲が定まって,
そのうち整数解になるものが求めるもの,
ということなんですが,
ちょこちょこっとやってみたところどうも解がないみたいです.
もとの係数が結構面倒ですから,私が計算ミスしている可能性もありますが,
問題に間違いはないでしょうか?
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(a,b,c)=(b-2,b,b+2) とした方が楽だと思います^^;>解いてないですが


解が正の整数にならないといけないという条件で
判別式のルートが開ける、
解の公式の分数が約分出来る

とか色々出てくると思います。

それか、
x^2 - 2/3 (2a+b+4c) x - 1/3 (4a^2+b^2-4c^2+4ac) = 0
と変形して、解を正の整数α、βとすると、(x-α)(x-β) = 0より、
α+β = 2/3 (2a+b+4c)
αβ = -1/3 (4a^2+b^2-4c^2+4ac)
となります。

この辺を手がかりに解けると思うのですが
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とりあえず、(a,b,c)=(2n-1,2n+1,2n+3)などとおいてそれを代入して、


係数がnの式だけのものは作ってみましたか?
話はそれからです。
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