解けません

関数g(x)は任意の正の数x,yに対して g(xy)=g(x)+g(y)を満足し、かつx=1において微分可能である。このとき、g(x)はすべての正の数xで微分可能であることを示し、g'(1)=aとして、g'(x)を求めよ　という問題ですがどうすればいいのか教えて下さい。お願いします。

No.1 回答者： hitomura 回答日時： 2002/02/10 21:26

g(xy)=g(x)+g(y)より、任意の正数に対して、g(1)=g(x)+g(1/x)、すなわち、-g(x)=g(1/x)-g(1)が成り立ちます。

微分の定義式にしたがって計算すると、
{g(x+dx)-g(x)}/dx={g(x+dx)+g(1/x)-g(1)}/dx
　　　　　　　　={g((x+dx)/x))-g(1)}/dx
　　　　　　　　={g(1+dx/x)-g(1)}/dx
　　　　　　　　=(1/x)[{g(1+dx/x)-g(1)}/(dx/x)]
　　　　　　　　→(1/x)g'(1)=a/x　(dx→0)
となりますから、任意の正数に対して微分可能で、g'(x)=a/xとなります。

この回答への補足

すみません。式の一行目から二行目なんですが、なぜ
g(x+dx)+g(1/x) が
g((x+dx)/x))となっているのか分かりません。

補足日時：2002/02/11 12:23

No.2 回答者： kony0 回答日時： 2002/02/11 00:27

答えを出すだけなら。

。。
g(xy)=g(x)+g(y)を見たときに、g(x)の候補の１つとして、log(x)を思いつけば、答えは直ちに出ますよね？
で、log(x)は思いついてほしい気はします。（奇抜なひらめきではないはず）
それで答えを先に見つけておいてから、その答えに目指した式変形を行うことを考えてみる・・・という方法もありじゃないかなぁ？とは思います。

ちなみに、任意の正の数x,yに対して g(xy)=g(x)+g(y)を満足するような関数g(x)って、log(x)の定数倍に限られませんでしたっけ？（謎）

この回答へのお礼

＞任意の正の数x,yに対して g(xy)=g(x)+g(y)を満足するような関数g(x)って、log(x)の定数倍に限られませんでしたっけ？
　そうなんですか？よくわかりません…。
hitomuraさんの方法でいいんですよね？

お礼日時：2002/02/12 17:55

No.3 ベストアンサー 回答者： hitomura 回答日時： 2002/02/11 14:14

＞g(x+dx)+g(1/x) が

＞g((x+dx)/x))となっているのか分かりません。
…え～と。

任意の正数x,yに対してg(xy)=g(x)+g(y)、って条件忘れてませんよね？

…そーか、この条件のxと式に登場するxとを混同してるんですね。

「任意の正数x,yに対して」g(xy)=g(x)+g(y)と書かれている以上、どのような２正数に対してもg(なんたら×かんたら)=g(なんたら)+g(かんたら)が成り立ちます。
また、微分を行おうとしている点は正ですから、ちょっとの部分を十分小さくすることで、微分地点＋ちょっとを正にすることができます。
さらに、１／微分地点も正です。

以上のことから、なんたら＝微分地点＋ちょっと、かんたら＝１／微分地点とすることで、g(微分地点＋ちょっと)+g(１／微分地点)＝g(（微分地点＋ちょっと）×（１／微分地点）)＝g(（微分地点＋ちょっと）／微分地点)となります。

微分地点をx、ちょっとをdxと書けば、g(x＋dx)+g(１／x)＝＝g(（x＋dx）／x)となります。

この回答へのお礼

よく分かりました。ありがとうございました。

お礼日時：2002/02/12 17:52