一次元箱型ポテンシャルの解

条件　V(x)=∞ (x<-a,a<x)、V(x)=0 (-a≦x≦a)　での一次元箱型ポテンシャルの解を求めたいのですが途中でつまってしまったので質問させてください。
シュレーデンガー方程式を解いて
Ψ(x)=Acos(kx)+isin(kx)
次に境界条件ψ(-a)=0,ψ(a)=0より
Acox(ka)=0,Bsin(ka)=0　
まで導出できました。
ここからkの値を求めたいのですが、どの本をみても
k=nπ/2a　となっています。ここが理解できないのです。例えば次のように場合分けすると
A=0,B≠0,sin(ka)=0のときk=nπ/aとしてψ(x)=(1/a)^1/2sin(nπx/a)
A≠0,B=0,cos(ka)=0のときk=(2+1n)π/aとしてψ(x)=(a/(a^2+(2n+1)π))^1/2cos((2n+1)πx/2a)
とすると本の解答と合わないのです。
根本的に考え方が間違っているのでしょうか？それとも数学的な間違い（計算ミス等）があるのでしょうか？よろしくお願いします。

No.8 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2006/05/21 11:04

>１つ目は規格化条件とは

>「∫Ψ~2dxを-aからaまで積分した値が=1」
分かっているのか分かっていないのかよく分からない書き方ですが、この場合の規格化条件は、
「|ψ|^2(=ψとψの複素共役の積)を全空間で(-∞から∞まで)積分した値が1」
です。式で書けば
∫[x:-∞→∞]|ψ|^2dx=1
という事です。ただ、この問題では、|x|>aの領域では恒等的にψ=0が成り立つので、結局、
∫[x:-a→a]|ψ|^2dx=1
であればよい事になります。


>２つ目はA≠0,B=0のときのAの値が正しいのかどうか ということです。
#7さんの繰り返しになりますが、単なる計算ミスでしょうね。
最終的な答えを見る限り、
>ψ(x)=(a/(a^2+(2n+1)π))^1/2cos((2n+1)πx/2a)
の(2n+1)πという項が出てこないはずなので、この項が出てきた部分の計算が間違いのはず。


>そのせいで本とは違う答えになってしまったのですが…
見た目が違うだけで、kの値自体は同じですので、anikisさんの答えでも正しいです。

>k=nπx/a,k=(2n+1)πx/2a
>とするとn=整数とかけるのでキレイというのか自分の好みにあうのです。
と思うのなら、このように書くことにして何も問題はありません。

ただ、今考えているのは数学ではなく物理なので、できるだけシンプルで、物理的な解釈がしやすい形に書くべきです。
A≠0,B=0の場合とA=0,B≠0の場合とで、kの形(見た目)が違うよりは、同じ形になっている方が、定性的な部分とかが分かりやすい場合もあるのではないでしょうか。

この回答へのお礼

3度目の回答ありがとうございます。
>|ψ|^2(=ψとψの複素共役の積)を全空間で(-∞から∞まで)積分した値が1
というものを数学的な面も含めて理解していないようです。分かっていないところがはっきりしたのですっきりしました。勉強し直します。

Aの値は計算ミスでした。正しくはA=(1/a)^1/2となり
「 A=0,B≠0,sin(ka)=0のとき
ψ(x)=(1/a)^1/2sin(nπx/a)
A≠0,B=0,cos(ka)=0のとき
ψ(x)=(1/a)^1/2cos((2n+1)πx/2a) n:整数 」
となりました。計算ミスでややこしくしてしまってすいません。

さてこの質問のメインであるkの値についてですがいま自分で「」の部分を書いていて思ったのですが、
"n:整数にしなければいけないという考え方にしばられて答えの方（ψ(x)=・・・の方です）を逆にややこしくしていないか"と思うようになりました。この辺が物理的センスというものでしょうか。自分にはなくてショボンとしてしまいましたが。
疑問点が解消して感謝の気持でいっぱいです。ありがとうございます。

お礼日時：2006/05/22 16:40

No.7 回答者： endlessriver 回答日時： 2006/05/21 08:38

>「∫Ψ~2dxを-aからaまで積分した値が=1」であっているのか

意味がよくわからないので。

>２つ目はA≠0,B=0のときのAの値が正しいのかどうか
あなたの始めの式ではみなさんも指摘のように誤りですよ。単なる計算ミスと思います。 (sinkx)^2、(coskx)^2のいずれも積分して出てくる2sin2ka=(sinka)(coska)は右辺のどれかが０なら０ですから。

この回答へのお礼

積分をここでどうやって書けばいいのか分からなくて、分かりにくくてすいません。#8さんの回答をみると
∫[x:-a→a]|ψ|^2dx=1というふうにかけばよいのでしょうか？どうやら規格化条件がよく分かってないみたいなのでもう一度勉強してみます。
Aの値は計算ミスでした。sin関数はπの整数倍で0ですよね。数学の基本力不足ですかね・・・。
回答ありがとうございます。

お礼日時：2006/05/22 15:50

No.6 回答者： endlessriver 回答日時： 2006/05/20 22:17

シュレーデンガー方程式を解いて

Ψ(x)=Acos(kx)+Bsin(kx)ですね。
みなさんの話はすべて正しいようです。以下にまとめてみました（蛇足でしたらすみません）。

B≠0ならsin(ka)=0でk=nπ/a=(2n)π/(2a)
A≠0ならcos(ka)=0でka=(nπ+π/2)/a=(2n+1)π/(2a)
これをまとめると＃３さんのようになります。

あとはsin,cosの差ですが、かろうじて残っていた荒木源太郎の本によると（他はどのような論理だったか今となっては）＃１さんの言われるように「座標の原点をポテンシャルの左端x=-aに移動すると」と書かれており、このように考えると一般性を失わず
Ψ(x)=Asin(kx)=Asin(nπx/(2a))　　（n=1,2,...）
と現せる。とのことです（当然ですね）。

規格化定数はいずれも(1/a)^(1/2)です（これも当然ですね）。

（＃２さんへ。先般、ご回答を頂いたのに不手際で失礼をしてすみませんでした。）

この回答への補足

今まで頂いた解答から疑問点が鮮明に浮き上がってきました。疑問点は２つあります。
１つ目は規格化条件とは
「∫Ψ~2dxを-aからaまで積分した値が=1」
であっているのか ということ
２つ目はA≠0,B=0のときのAの値が正しいのかどうか ということです。
よろしくお願いします。

補足日時：2006/05/21 04:18

この回答へのお礼

蛇足なんてとんでもないです。解答して頂きありがとうございます。
> 座標の原点をポテンシャルの左端x=-aに移動する
というのはV(x)=0 (0≦x≦2a)の場合でkとA,Bを求めてから-a移動するということでしょうか？それならば2ka=nπとなりk=nπ/2aとなります。そしてΨ(0)よりA=0となりBは規格化条件(規格化条件というのは∫Ψ~2dxを-aからaまで積分した値が=1というものですよね？)より-aB~2=1となりB=(1/a)~1/2となります。（当然といわれましてもじっくり考えてみないと理解できないのが恥ずかしいです。

お礼日時：2006/05/21 04:18

No.5 回答者： atomicmolecule 回答日時： 2006/05/20 18:22

規格化定数A、Bはわかりませんが、ｋに対する考え方も答えも正しいですよ。

本が不親切なだけではないでしょうか？
古いですが量子力学の本でそれなりに評価が確立した本、例えばシッフなら第章に無限に深い井戸型ポテンシャルの問題と答えがあり、

u(x)=B cos(nπx/2a) n=奇数
u(x)=A sin(nπx/2a)　　　　 n=偶数

となっています。図を描けば明らかにsinもcosも壁でゼロになるようなグラフが存在しますよね。本といっても間違いはあります、anikisさんの考え方は正しく自信をもって良いのではないでしょうか。

この回答へのお礼

kの値は正しいのですか?!それならばA,Bの値を求めるところで不適切な処置があるのでしょうか。
> u(x)=B cos(nπx/2a) n=奇数
> u(x)=A sin(nπx/2a) n=偶数
この書き方は好みではないとでもいったらよいのでしょうか。n=偶数としたりn=奇数としたりするのはなんかせこい感じがするのです。
k=nπx/a,k=(2n+1)πx/2a
とするとn=整数とかけるのでキレイというのか自分の好みにあうのです。そのせいで本とは違う答えになってしまったのですが…
シッフという本探してみます。

お礼日時：2006/05/21 04:01

No.4 回答者： ojisan7 回答日時： 2006/05/20 17:24

すみません。

根本的なミスです。No2の解答は取り消します。

この回答へのお礼

ですよね。量子力学を習い始めて改めて数学の難しさを感じているところです。

お礼日時：2006/05/21 03:39

No.3 回答者： eatern27 回答日時： 2006/05/20 16:31

#1です。

>>#2さん
cos^2+sin^2=1ですから、cos(ka)とsin(ka)は同時にゼロにはなりません。

従って,cos(ka)≠0,sin(ka)≠0の少なくとも一方が成立します。
cos(ka)≠0の時にはAcos(ka)=0よりA=0
sin(ka)≠0の時にはBsin(ka)=0よりB=0
という流れですね。

この回答へのお礼

2回も解答して頂きありがとうございます。そうですよね。一瞬びっくりしてしまいました。
今の疑問は下にも書きましたが、A≠0,B=0のときのAの値についてです。よろしくお願いします。

お礼日時：2006/05/21 03:35

No.2 回答者： ojisan7 回答日時： 2006/05/20 15:26

考え方が間違っていると思います。

Acox(ka)=0,Bsin(ka)=0
の両方の式が成り立つｋの値は、一般的に、
k=nπ/2a　
となります。

A=0のときと、B=0のときで場合分けするのは誤りです。（その場合でしか、成り立たないから、しかも、その二つの場合を１つにまとめると、Ψ(x)=０になってしまい、不都合ですね）　

この回答へのお礼

解答ありがとうございます。
A=B=0のときは物理的な意味を考えて不適ですね。そしてA≠0,B≠0のときはsin(ka)=cos(ka)=0は成り立たないので不適ですね。よってA,Bのどちらかが0であると考えました。

お礼日時：2006/05/21 03:31

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2006/05/20 15:20

＞どの本をみても

＞k=nπ/2a　となっています。
となっている本でも
＞V(x)=∞ (x<-a,a<x)、V(x)=0 (-a≦x≦a)　
というポテンシャルで考えているのでしょうか？

例えば、
V(x)=0 (0≦x≦2a)　∞(それ以外)
のようなポテンシャルで考えていたりしませんか？　


＞A=0,B≠0,sin(ka)=0のときk=nπ/aとしてψ(x)=(1/a)^1/2sin(nπx/a)
＞A≠0,B=0,cos(ka)=0のときk=(2+1n)π/aとしてψ(x)=(a/(a^2+(2n+1)π))^1/2cos((2n+1)πx/2a)
やり方は問題ないですし、kの値も問題ない思います。(k=(2+1n)π/aとありますが、後の式を見る限り、これは、k=(2n+1)π/2aの誤植ですよね？)

ただ、規格化定数については、もうちょっと考えてみた方がよさそうです。少なくとも後者はn→∞とすると、ψ(x)→0となってしまうので、明らかにおかしいです。

この回答へのお礼

V(x)=0 (0≦x≦2a)　∞(それ以外)とはなっていないと思います。例えば、本ではないですが下記のサイト
ttp://www.mns.kyutech.ac.jp/~okamoto/education/quantum/potential-infinite-1a.pdf#search=
ではV(x)=∞ (x<-a,a<x)、V(x)=0 (-a≦x≦a)となっています。

k=(2+1n)π/aは思いっきり誤植です。実際はk=(2+1n)π/2aです。混乱させてすいません。

そうなんです。自分の解答がおかしいと思ったのはこの規格化定数、A≠0,B=0のときのAの値がキレイじゃないと感じたからなんです。このときのBの値はどのように考えたらよいのでしょうか？よろしくお願いします。

お礼日時：2006/05/21 03:25