級数Σ(∞k=1){(5k+3)/2^k}の和を求める方法を教えてもらえませんか?

A 回答 (3件)

S(N)=Σ(5k+3)/2^k  (k=1~N)


としましょうか。すると
P(N)=Σk/2^k (k=1~N)
Q(N)=Σ1/2^k (k=1~N)
として、
S(N)=5P(N)+3Q(N)

まずQ(N)は簡単。
Q(N)=(1-1/2^N )
ですね。

P(N)はどうするか。ちょいとワザを使う方法をご紹介しましょう。

まずは
f(x,N)= Σ(x/2)^k (k=1~N)
を考えてみましょう。等比級数ですから、
f(x,N)= (x/2 - (x/2)^(N+1))/(1-x/2)
です。このfをxで微分してみましょう。
f'(x,N)=∂f(x,N)/∂x
= [(1-x/2)(1/2 - (1/2)(N+1)(x/2)^(N+1))+(1/2)(x/2 - (x/2)^(N+1))]/(1-x/2)^2
んでx=1を代入すると
f'(1,N)=[(1/2)(1/2 - (1/2)(N+1)(1/2)^(N+1))+(1/2)(1/2 - (1/2)^(N+1))]/(1/2)^2
=(1 - (N+1)(1/2)^(N+1))+(1 - (1/2)^N)
=2 - ((N+1)/2)(1/2)^N- (1/2)^N
=2 - ((N+3)/2)(1/2)^N
ん?これが何か関係あるの?

あるんです。
f(x,N)= Σ(x/2)^k (k=1~N)
を微分すると
f'(x,N)=Σ(1/2)k(x/2)^(k-1) (k=1~N)
だからx=1にすると
f'(1,N) = Σk/2^k (k=1~N)
= P(N)
だから、ね、関係あるでしょう。
P(N)=f'(1,N)=2 - ((N+3)/2)(1/2)^N
だと分かる。よって
S(N)=5P(N)+3Q(N)
= 5(2 - ((N+3)/2)(1/2)^N)+3(1-1/2^N )
です。あとはN→∞とすると、((N+3)/2)(1/2)^N→0, 1/2^N→0だから
S(∞)=13
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第1項はn番目までの和をSnとすると


[1] Sn =5*1*2^-1+5*2*2^-2+5*3*2^-3・・・・+5*n*2^-n
[2] Sn*(1/2)= 5*1*2^-2+5*2*2^-3・・・・+5*(n-1)*2^-n+5*n*2^-n+1
-----------------------------------------------------------------
[3]Sn-Sn(1/2)=5*1*2^-1+5*1*2^-2+5*1*2^-3・・・・+5*1*2^-n +5*n*2^-n+1

おわかりかと思います。
[2]は[1]の両辺に1/2をかけただけですね
ちなみに(2^-1)*(1/2)=2^-2ですよね。

[3]は補足してみました。整理すると
Sn-Sn*(1/2)=5*1*2^-1+Σ(n,k=2){5*2^-k}-5*n*2^-n+1
が出るはず・・・です

ここではかけないのですが、乗数を肩に書いた方がわかりやすいと思います。
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参考にしてください。


Σ(∞k=1){(5k+3)/2^k}
=Σ(∞k=1){5k*2^-k}+Σ(∞k=1){3*2^-k}
第2項は初項が3/2、公比が1/2の無限等比級数の和ですから
(3/2)/(1-1/2)=3となります。
第1項はn番目までの和をSnとすると
Sn=5*1*2^-1+5*2*2^-2+・・・・+5*n*2^-n
Sn*(1/2)=5*1*2^-2+・・・+5*(n-1)*2^-n+5*n*2^-n+1
よって
Sn-Sn*(1/2)=5*1*2^-1+Σ(n,k=2){5*2^-k}-5*n*2^-n+1
真中の級数は初項5/4、公比が1/2の等比級数になります。
nを無限大にすれば一番右の項は0ですから解が求まりますよね。

この回答への補足

アドバイス有難うございます。
おかけ様で、第二項の説明は理解できたのですが、第一項が理解できません。
Sn=・・・のところは分かります。
何故Sn*(1/2)=・・・になるのか等、その下の部分をもう少し詳しく教えてもらえないでしょうか。
級数などは高校で習わず、通信の大学で独学でしてるいるので、基礎ができていません。申し訳ありませんが、宜しくお願いします。

補足日時:2002/02/13 19:06
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