１＋１＝２の証明って？

１＋１＝２であることを証明できると聞きましたが
どうやってやるんですか？
虚数を使うとか何とかって言ってたような

No.8 回答者： stomachman 回答日時： 2002/02/16 10:33

No.8について注釈が必要と思い、追記します。

　tgbさんが定義なさった"+"は普通の足し算ではない。普通で言えば、n+m+1という演算ですから、同じ"+"という記号を使うのは適当じゃないでしょう。

　No.6の定義は、普通の意味での足し算を、どんな自然数についても正確に表しています。だから(1+2)+3 = 6だって証明できます。（この先、掛け算だって作れるんだよ。）これは操作論的に数学の体系を構成する典型的な方法なんです。ゲーデルの不完全性定理の証明をきちんと書いた本なんか見ると、似たようなことをやっているのがお分かりになると思います。
　
　No.6でインチキしているのは、実は「自然数全体の集合」というものを構成するのを省いている所です。だってs(0), s(1), ....を続けていっても、いつまで経っても無限個の自然数は出来上がらない。自然数全体の集合を作るのは無限公理：「無限集合が存在する」を仮定して初めて可能になります。しかし、コンピュータで計算できるような数だけを問題にする数学の場合にはこれは必要ないんです。

No.7 回答者： tgb 回答日時： 2002/02/16 09:58

　stomachmanさんの証明を見て、すっかり感心しました。

しかし、加法、減法の演算を内包したような得体の知れない
関数が突然定義される事に引っかかりを感じ、検討している
内に、この証明にちょっとした細工をすれば
　１＋１＝３
も"証明"できることを発見しました。

●f(n,m,m)=s(n)　　　...　ここに細工( s(n) <--n )
●m≠kのとき、f(n,m,k) = f(s(n),m,s(k))
そして
●+(n,m)=f(n,m,0)
と定義します。

　1+1=f(1,1,0)=f(2,1,1)=s(2)=3

　とは言え、私は安易に結論を急いだようで反省しています。
証明は不可能という私の主張は撤回したいと思います。

No.6 回答者： stomachman 回答日時： 2002/02/15 04:41

きちんとやるとなるとNo.4のaminouchiさんのおっしゃる通りですが、ま、感じだけ掴んでいただくのなら。

空集合をφと書くことにします。

まず小さい自然数の定義です。
●φを0と書くことにします。
そして、演算s(n)を
●s(n) = {n}∪n
と定義します。実はs(n)は「nの次の数」を表すんです。
●s(0)={0}を1と書くことにし、
●s(1)={0,1}を2と書くことにします。
●s(2)={0,1,2}を3と書くことにします。
この定義は、集合の要素の個数がその数を表しています。2を定義するのに"+"を使っていないところがミソですね。

　さて今度は+の定義です。+は二つの自然数を一つの自然数に対応させる２変数関数ですから、本来
+(n,m)
と書くべき所を
n+m
と書いているに過ぎない、と考えます。で、+(n,m)を定義するために一つ補助的な3変数関数fを考えます。ここに
●f(n,m,m)=n
●m≠kのとき、f(n,m,k) = f(s(n),m,s(k))
そして
●+(n,m)=f(n,m,0)
と定義します。
かくて、とりあえず必要な道具は揃いましたよ。

1+1 = +(1,1) = f(1,1,0) = f(s(1),1,s(0)) = f({1}∪1,{0},{0}∪0)
= f({1}∪{0},{0},{0}∪φ) = f({0,1},{0},{0}) = {0,1} = 2


そうだ、ご理解を深めるために、ひとつ応用問題を付けましょう。
●g(n,m) = f(0,n,m)
と定義します。
この関数gは何を表しているでしょうか。

No.5 回答者： tgb 回答日時： 2002/02/14 12:23

　私もhidearexさん（ANo.#1）が示されたＨＰを見させてもらい

ましたが納得しました。やはり証明は出来ないと思います。
　以下はこのＨＰに対する蛇足のようなもので、どこかで誤りや
不正確なところがあるかも知れませんが参考になればと思います。

　１＋１＝２．．．．．（１）
を証明するためには
・１とは何か
・２とは何か
・＋とは何か
が定義されていなければなりませんが、１、２の定義と＋の定義
とは関係しあっていると思います。（＝の定義についてはここで
は考えないことにします。）
　つまり、（１）を使わないと「２」を定義できないのではないか
と思います。同様に、
・２＋１＝３、３＋１＝４、．．．．　　．．．．（２）
も証明不可能のように思えます。
・３＋２＝５
なら証明できるかも知れません。そのためにはおそらく
（２）で使用される「＋」の定義に拡張を加えて行く必要が
あるでしょう。
　（＋２が許されるかどうかは「＋」の定義による。その上で
　　４＋１＝５で定義される「５」と３＋２で新たに作られる
　　ものが一致するかどうかの検査を行えばこれが証明になる
　　という意味で証明可能。

　定義や公理系の構成の仕方によっては（無理にそのようになる
ように工夫して公理系を構成することにより）（１）を証明する
ように出来ないとは言えないかも知れませんが、やはり不自然に
なるのではないでしょうか。

No.4 回答者： aminouchi 回答日時： 2002/02/14 07:28

えーと、１＋１＝２の証明はできます。

ただし、その証明は全部で大学ノート一冊分ぐらいになります。

と言いますのは、今からン十年ほど前に「数学基礎論」の講義を何年か連続して受講したことがあるのですが、ある年に半年かけて「１＋１＝２」の証明をやりました。基本的には、論理の公理系を設定してそこから演繹していきます。（厳密に言いますと初めの公理系の設定が一番大事なことであって、どのような公理系を作れば数の演算を証明できるかというのが基礎論の授業の眼目です。）

なお、虚数はその定義からして、すでに「１＋１＝２」を利用していますから証明には使えません。（つまり、足し算の拡張としてかけ算があり、そのかけ算の一部として、何乗とか何乗根というのがあるわけです）

さらに蛇足ですがＮＯ１の方の参考ＵＲＬを拝見させていただきましたところ、そこでの議論はつっこみが不足しているような気がしました。作者についての情報がありませんので、なんとも言えませんが「数学」自体についてしっかり考えたことがあるとは思えない内容でした。

No.3 回答者： goosasuke 回答日時： 2002/02/14 04:39

　虚数は使いませんが、自然数の構成について、ペアノの公理と呼ばれる公理系があります。

それによる証明の拡張で整数を考えた場合のものではないでしょうか？
　　１の前者を０を考えて、　０＋１＝１、１＋０＝０＋１、・・・・
　とやっていくようなやつですが・・・・。
　　　

No.2 回答者： nozomi500 回答日時： 2002/02/14 00:45

そもそも、「２」とは何だと定義されているか、ということですね。

「1+1＝２」を証明しようと思うならば、そのなかで「たしざん」「ひきざん」は一切使えないわけでしょう。とうぜん「かけざん」が使えるわけがないから、「虚数」をどうやって定義するか、まず、そこがひっかかります。

No.1 回答者： hidearex 回答日時： 2002/02/14 00:35

こちらでは「証明できない」となっておりますが（汗

虚数はでてこなかったので、他に証明の方法があるのかも。。。

ご参考までにどうぞ。

参考URL：http://www.sf.airnet.ne.jp/tmt/mathfaq/1and1is2. …