(1)複素数zがz^8=1を満たし、実部が正、虚部が負のとき、z=???である。
(2)平面上にどの2本も互いに平行でないは10本の直線があるとき、それらの直線どうしの交点の数は、???個である。ただし、3本以上の直線が1点で交わることはないとする。

(2)は45らしいのですが解き方がわかりません。(1)は分かりません。
分かる方ヒントでも良いので、教えてください。

A 回答 (4件)

(2)について



> 平面上にどの2本も互いに平行でないは10本の直線がある
> ただし、3本以上の直線が1点で交わることはないとする。

 と言う事は,直線を2本選べば交点が1つできるわけですね。つまり,「交点の数」=「10本の直線から2本を選ぶ選び方の数」です。

 よって,「交点の数」= 10C2 = 10!/(8!・2!) = 10・9/2 = 45

 いかがでしょうか。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
解けました。

お礼日時:2002/02/20 23:53

(2)だけ、ちょこっと追加します。


たぶんこの問題、適当な問題集なら、解答には10C2=45とだけ書いてあると思います。
これは、たとえば、直線に1-10までの番号を適当に割り振ってあげて(10色の色鉛筆を使って線を引いたのでも可^^;)
「1と2が交わってできた交点」「1と3が交わってできた交点」・・・「9と10が交わってできた交点」というように、それぞれの交点をとらえることにします。
この交点の数っていうのは、結局「10本の直線のうち、異なる2本の選び方」と一致するというわけです。
ここで、場合の数の問題で、いつも「順列」か「組み合わせ」のどちらを使えばいいかわからなくなる人も多いかと思いますが、この問題では、「1と2の交点」と「2と1の交点」は同じものですよね?だから、2つを選ぶ順番は関係ない、組み合わせ的思考となります。

さて、蛇足ですが、もし1つだけ、3本の直線が交わっている点があった場合、交点の数はどうなるでしょうか?
答えからいうと、43になります。
これは、この1点を通る直線を1,2,3とでも考えてあげると、上の10C2の考え方の中では、この交点のことを、「1と2の交点」「1と3の交点」「2と3の交点」というように3回(式で言うと、3C2=この点を通る3本から2本を選ぶ選び方)数えていることになりますから、2回分多く数えすぎ(3C2-1: 1回分はきちんと数えてあげる必要があるための「-1」)となります。
同様に、1点だけ4本の直線が交わっているならば、10C2-(4C2-1)=40、2点だけ、それぞれ3本の直線が交わっているならば、10C2-2*(3C2-1)=41となります。
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この回答へのお礼

解けました。
ありがとうございました。

お礼日時:2002/02/20 23:54

(1)ですが、複素平面上の単位円で考えるのが本筋とも言える解き方です。

複素平面は分かりますか? 念のため申し上げておきますと(x, y)座標と同じようなものです。例えば複素数(3+4i)は点(3,4)に対応します。

さていま、ある複素数に-1をかけると、積は原点を対象とした位置に移ります。原点を中心に180°回転します。
ではある複素数にiを掛けてみるとどうでしょう。原点を中心として90°回転することが分かります。
このように複素数をかけ合わせると言うことは、複素平面上で回転する演算に対応します。より詳しく言えば、a+biにc+diを掛けると、もとの点a+biから角度θだけ回転し、かつ絶対値は√(c^2+d^2)倍になった点に移ります。ここでθはtanθ=c/dを満たす角度です。

さて問題ですが、「ある数を8回掛けたら、複素平面上の(1,0)になった」ということです。(8回かけても絶対値は1であることに注意、zの絶対値は1だとすぐに分かります。それで「単位円」上の点だと分かります)
単位円を45°ずつ8つに区切ってみてください。
8回回って0°の方向に戻る角度は、0°、45°、90°、135°、180°、225°、270°、315°の8つです。
0°は1 (=1+0i) 45°は1/√2+i/√2、90°は0+i、135°は-1/√2+i/√2・・・といった具合にそれぞれ対応します。
このうち実部が正、虚部が負であるものは、315°に対応する 1/√2-i/√2 です。

(2)は簡単な場合について数えてみてから、漸化式を立てて考えるのが常道です。
いま、直線がn本ある時の交点の数をa(n)とします。

直線が2本なら 交点は1つ
これにもう1本線を引くと 交点は2つ増えて3つになります。

直線が3本なら 交点は3つ
これにもう1本直線を引くと 交点は3つ増えて6つになります。

ほとんど明らかですが、n本の直線が引いてあるところにもう1本直線を足すと、交点はn個できます。
a(n+1)=n+a(n)
という漸化式が立てられます。これはすぐ解けて、
a(n)=a(1)+Σk
(数列の和はk=0からk=n-1まで取る)
ここでa(1)=0なので、単に
a(n)=Σk
(数列の和はk=0からk=n-1まで取る)
となります。
従って直線を10本引いた時の交点は45個です。

この回答への補足

ありがとうございます。
(1)の「このうち実部が正、虚部が負であるものは、315°に対応する 1/√2-i/√2 です。」
のところは、cos315°+i sin315°でもいいのですか?

補足日時:2002/02/18 20:33
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この回答へのお礼

なんとか解けました。
ありがとうございました。

お礼日時:2002/02/20 23:56

ヒントっす!



(1)←数学Bの教科書にはたいてい載っていると思います.
ちょうどおととい,かてきょーの生徒に教えていた問題です(偶然!)

z=r(cosθ+isinθ)

とおいて,z^8=1に代入すると・・・?答えは8個出てくるはずです.←最初はこれを見つけるのがムズカシイようですが.
ド・モアブルの定理を使いましょう.


<ちなみに,以下はz^n=1の問題を解くときの裏技です!>

・複素平面に,半径が1,原点を中心とする円をかく
・z=1の点(実軸と円周が交わる正の点)を1つの頂点として,そこから円周沿いに正n角形をかく
・その頂点がzの答えである.

(つまり,z^8=1なら,z=1をひとつの頂点とする正八角形を書いてみましょう.すると・・・?)

なんでこうなるかは・・・?まあ,暇があったら考えてみてください.
ちなみに,応用すればz^n=a+biの一般系もこの方法で解けますぞ!
(ヒントは,a+biを極形式に直しましょう.そのときの角度θがスタート地点となるのです)


(2)
数学的な証明はおいといて,実際に並べ上げてみるとはやそうです.

直線が1本:交点は0コ
直線が2本:交点は1コ
直線が3本:交点は1+2コ

・・・

じゃあ,直線が10本のときは?

ヒントは,「直線は無限に長いので,2直線が平行でない限り,どこかで絶対に交わる」ことです.
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この回答へのお礼

この前も解答してくれましたよね!?
ありがとうございました。

お礼日時:2002/02/21 00:00

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