まことに申し訳ありません。こっちが真の疑問。＾＾；；

ジョーカーを除いた一組５２枚のトランプがある。

無作為に５枚のカードを取り出したとき、同じ数字または絵が４枚揃う確率

ごめんなさい。こっちがどうしても悩んでいる方なのです。　　（さっきのも自信が持てなかったので、こっちは全く......（＠＠）　）
どうしても、５回引けるというところに引っかかっています。
　何回目で関係ないのを引く・・・ってやっていって、最後に全ての論理和を求めれば良いのでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： Naka 回答日時： 2000/12/25 12:25

◆Naka◆

再登場です。
まず先にお詫びを申し上げます。
先ほどの＃１の回答に不備がありました。
「お礼」をいただき、考えて直していたときに間違いに気付きました。
それは「同じ種類」のところだったのですが、それについては後述します。

じゃあ、「同じ数字」を考えてみましょう。
最後の５枚目に「違う数字」が入る確率は…
(52/52)×(3/51)×(2/50)×(1/49)×(48/48)=1/20825
になりますよね？？
じゃあ、その「違う数字」が３枚目に来たとすると、どうなるか考えてみましょう。
(52/52)×(3/51)×(48/50)×(2/49)×(1/49)=1/20825
となって、分母・分子が同じですから、結局同じですよね？
「違う数字」は５ヶ所に入り得ますから…
(1/20825)×5=1/4165
となって、先ほどの答えと同じになります。

次は「同じ種類」ですが、ここで先ほどはミスりました。
これは「５枚とも同じ種類」と「５枚中４枚が同じ種類」に分けて計算し、あとで加えなければいけませんでした。
まず「５枚とも同じ種類」ですが…
(52/52)×(12/51)×(11/50)×(10/49)×(9/49)=33/16660
になりますね。
次いで、「５枚中４枚が同じ種類」ですが…
(52/52)×(12/51)×(11/50)×(10/49)×(39/48)×5=143/3332
となります。
これを加えて、
33/16660+143/3332=187/4165

そして、さらにこれに「同じ数字」の「1/20825」を加えて…
187/4165+1/4165=188/4165
ということになります。

どうも失礼しました。訂正できてよかったです。 m(_ _)m

No.11 回答者： Naka 回答日時： 2000/12/26 16:53

◆Naka◆

なるほど、そう言われてみれば… (^^;)
でも「５枚そろっている」のは、当然「４枚」を含みますから、「ちょうど４枚」とか、「４枚だけ」という記述がない限り大丈夫だと思いますよ。

No.10 回答者： Naka 回答日時： 2000/12/26 04:37

◆Naka◆

そうなんですよ～。「うっかり」ばっかやっちゃうんですよね。 (^○^)
「なんだ、簡単じゃん。」なんて思って。
rukaandkaitoさんも「うっかり」をやっちゃったみたいですし…（「５枚目は何でも良いので、１／４８だから」のところですね）
というわけで、stomachmanさんのお答えと、やっと一致しました。（＃２の「188/4165」です）
これはみんなでミスって、引き分けかな？？ (^o^)
（なんで回答者３人で10回答…？？？）

この回答へのお礼

いや～　本当にお手数かけました＾＾；；
ありがとうございます。
皆さんのお手数を考えると、ポイントを誰かに決めないといけないのってつらいですね＾＾；；

　ちなみに、この文章で判断したときに、「４枚揃う」を
「４枚以上揃う」と解釈しても良いのでしょうか？
私も悩んでいます。
　これを一応告げておいてご一考いただいてから締め切りたいと思います。

お礼日時：2000/12/26 11:13

No.9 回答者： stomachman 回答日時： 2000/12/26 04:02

うあああ。

Stomachmanまぁた間違えてしまいました。うほほほほい。こんどは計算間違いです。
　そうか、これがieyasuさんの仰る状況なのね....

どうも答えがでかい。変だとおもってよく見たら.....(10/49)の因子が落ちてました。
p1 = 5 × (13/52)(12/51)(11/50)(10/49)(39/48) + (13/52)(12/51)(11/50)(10/49)(9/48)
= {(13/52)(12/51)(11/50)(10/49)}(1/48)(5 × 39 + 9)
= {(13/52)(12/51)(11/50)(10/49)}(1/48)204
= {(13/52)(12/51)(11/50)(10/49)}(1/12)51
= (13/52)(11/50)(10/49)
= (1/4)(11/50)(10/49)
= (1/4)(11/5)(1/49)
よって、
P = 4 × p1 = 4 × (1/4)(11/5)(1/49)= (11/5)(1/49) = 11/(5×49)
です。

従って、
P+Q = 11/(5×49) + 1 /(17 × 49 × 5)
= (11×17 + 1 )/(17 × 5×49)
= 188 / 4165 = 0.045138...です。
こんどこそ！！　自信アリはやめておこう。Nakaさん助けてぇ～

この回答へのお礼

いや～　本当にお手数かけました＾＾；；
ありがとうございます。
皆さんのお手数を考えると、ポイントを誰かに決めないといけないのってつらいですね＾＾；；

　ちなみに、この文章で判断したときに、「４枚揃う」を
「４枚以上揃う」と解釈しても良いのでしょうか？
私も悩んでいます。
　これを一応告げておいてご一考いただいてから締め切りたいと思います。

お礼日時：2000/12/26 11:13

No.8 回答者： stomachman 回答日時： 2000/12/26 03:43

Stomachman間違えてしまいました。

簡単とか言っちゃって...とほほ。
直前の回答において
×「同じスーツが5枚中4枚揃う確率P」というのは間違いで、
○「同じスーツが5枚中4枚以上揃う確率P」が正解です。

従って、(2)は以下のように訂正する必要があります。
(2) 「同じスーツが5枚中4枚以上揃う確率P」は
「スーツ1が5枚中4枚以上揃う(確率p1)」, ...,「スーツ4が5枚中4枚以上揃う(確率p4)」が同時に起こることはありません。したがって P = p1+....+ p4です。また明らかにp1 = ... = p4です。従って、P= 4 × p1です。
「1回目にスーツ1以外を引き、他はスーツ1ばかり引く(確率p1,1)」,..,「5回目にスーツ1以外を引き、他はスーツ1ばかり引く(確率p1,5) 」および「全部スーツ1ばかり引く(確率p1,0)」も同時に起こることはありません。明らかにp1,1=.... =p1,5なので、従ってp1 = 5 × p1,5 + p1,0。
そして
p1,5 = (13/52)(12/51)(11/50)(10/49)(39/48)
p1,0 = (13/52)(12/51)(11/50)(10/49)(9/48)
ですから、
p1 = 5 × (13/52)(12/51)(11/50)(39/48) + (13/52)(12/51)(11/50)(10/49)(9/48)
= {(13/52)(12/51)(11/50)}(1/48)(5 × 39 + 9)
= {(13/52)(12/51)(11/50)}(1/48)204
= {(13/52)(12/51)(11/50)}(1/12)51
= (13/52)(11/50) = (1/4)(11/50)
よって、
P = 4 × p1 = 4 × (1/4)(11/50)= (11/50)
です。

一方、Qの方はそのままで、
Q = 13 × 5 × (4/52)(3/51)(2/50)(1/49)
= 5 × (3/51)(2/50)(1/49) = (3/51)(1/5)(1/49) = 1 /(17 × 49 × 5)
ですから、
P+Q = (11/50) + 1 /(17 × 49 × 5)
= (17 × 49 ×11 + 10)/(17 × 49 × 50)
= 9173 / 41650 = 0.22024... です。
ということは、Nakaさんも検算の要あり、かもしれません。
今度も敢えて自信アリにしておきましょう。

No.7 回答者： stomachman 回答日時： 2000/12/26 03:02

アホついでのStomachmanの以下の計算、結果はNakaさんと一致しました。

良かった良かった。

「同じスーツが5枚中4枚揃う(確率P)」と「同じ数字が5枚中4枚揃う(確率Q)」が同時に起こることはありません。したがって、「同じスーツが5枚中4枚揃うか、あるいは同じ数字が5枚中4枚揃う」の確率はP+Qです。

(1) 「同じ数字が5枚中4枚揃う確率Q」は
「数字1が5枚中4枚揃う(確率q1)」, ... , 「数字13が5枚中4枚揃う(確率q13) 」が同時に起こることはありません。したがって、Q = q1 + q2 + .... + q13 です。また明らかにq1 = q2 = .....= q13 です。従って Q = 13 × q1 です。
　q1において「1回目に数字1以外を引き、他は数字1ばかり引く(確率q1,1)」,..,「5回目に数字1以外を引き、他は数字1ばかり引く(確率q1,5) 」も同時に起こることはありません。明らかにq1,1=.... =q1,5なので、従ってq1 = 5 × q1,5。
そして q1,5 = (4/52)(3/51)(2/50)(1/49) ですから、
Q = 13 × 5 × (4/52)(3/51)(2/50)(1/49) = 13 × 5 × (4 × 3 × 2)/(52 × 51 × 50 × 49)

(2) 「同じスーツが5枚中4枚揃う確率P」は
「スーツ1が5枚中4枚揃う(確率p1)」, ...,「スーツ4が5枚中4枚揃う(確率p4)」が同時に起こることはありません。したがって P = p1+....+ p4です。また明らかにp1 = ... = p4です。従って、P= 4 × p1です。
　p1 = 「1回目にスーツ1以外を引き、他はスーツ1ばかり引く(確率p1,1)」,..,「5回目にスーツ1以外を引き、他はスーツ1ばかり引く(確率p1,5) 」も同時に起こることはありません。明らかにp1,1=.... =p1,5なので、従ってp1 = 5 × p1,5。
そして p1,5 = (13/52)(12/51)(11/50)(10/49) ですから、
P = 4 × 5 × (13/52)(12/51)(11/50)(10/49)= 4 × 5 × (13 ×12 × 11× 10)/(52 × 51 × 50 × 49)

以上から、
P+Q ={4 × 5 × 13 ×12 × 11× 10 + 13 × 5 × 4 × 3 × 2}/(52 × 51 × 50 × 49)
={4 × 5 × 13 ×12 × 11× 10 + 13 × 5 × 4 × 3 × 2}/(52 × 51 × 50 × 49)
=(13 × 4) × {5 × 12 × 11× 10 + 5 × 3 × 2}/(52 × 51 × 50 × 49)
= 52 × 5 × {12 × 11× 10 + 3 × 2}/(52 × 51 × 50 × 49)
= 52 × 5 × 3 × 2 × {2 × 11× 10 + 1}/(52 × 51 ×50 × 49)
= 52 × 5 × 3 × 2 × 221 /(52 × (17 × 3) ×50 × 49)
= 52 × 5 × 3 × 2 × (13 × 17) /(52 × 17 × 3 ×(5 × 5 × 2) × 49)
= 13 /(5 × 49)
= 13 /(5 × 49)
= 13/245　＝Nakaさんの答：221/4165 （これは17で約分できるんです！）

　この問題は確率の計算としては例外的に簡単な例です。というのは事象を適当に分類すると、完全に独立な事象に分けられるからです。普通はこうは行きません。

No.6 回答者： Naka 回答日時： 2000/12/26 01:26

◆Naka◆

もう一ヶ所ありました～。(^^;)

＞そして、さらにこれに「同じ数字」の「1/20825」を加えて…

じゃなくて、「同じ数字」の確率は、「1/4165」でしたね。
答えはやっぱり同じです。

No.5 回答者： Naka 回答日時： 2000/12/26 01:20

◆Naka◆

再々登場です。 (^^;)
二ヶ所、書きミスっちゃいました。

＞じゃあ、その「違う数字」が３枚目に来たとすると、どうなるか考えてみましょう。
＞(52/52)×(3/51)×(48/50)×(2/49)×(1/49)=1/20825

＞まず「５枚とも同じ種類」ですが…
＞(52/52)×(12/51)×(11/50)×(10/49)×(9/49)=33/16660

この最後の (1/49)と(9/49) は、それぞれ(1/48)と(9/48) です。
答えはそのままで結構です。

しっかしstomachmanさん、スゴイ！！ (^^;)

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2000/12/25 23:54

質問のご主旨は、１まいづつ何が起こるか。

ってことのようですんで、キカイに手伝って貰ってやってみたら1時間かかりました。（アホか!）

以下、その結果ですが、手でいじった所が多いので、数字のチョンボはご容赦下さい。

最初の１枚のカードを選んだ。としましょう。
すると２枚目の可能性は、
[1] 同じ数字の3枚。確率(3/51)
[2] 同じスーツの12枚。確率(12/51)
[S] したがってスカは、確率(36/51)

（１）２枚目は１枚目と同じ数字（従ってスーツは異なる）。こうなる確率は(3/51)です。
３枚目としては、
[1] 同じ数字の2枚のどれか。確率(2/50)
[2] １枚目か2枚目と同じスーツの24枚。確率(24/50)
[S]スカの確率は(24/50)です。

（１－２）３枚目は１枚目、2枚目と同じ数字（従ってスーツは異なる）。こうなる確率は(2/50)(3/51)です。これで数字を揃えるしかなくなりました。
[1] ４枚目で同じ数字の1枚を当てる。確率(1/49)
-> ★成功！！この状態にくる確率は(1/49)(2/50)(3/51)です。
[2] ４枚目でスカを引き、５枚目で同じ数字の1枚を当てる。確率(1/48)(48/49)=(1/49)
-> ★成功！！この状態にくる確率は(1/49)(2/50)(3/51)です。
[×]はずす確率は(1-(2/49))です。
-> ●失敗！この状態にくる確率は、(1-(2/49))(2/50)(3/51)です。

（１－２）３枚目は１枚目か2枚目と同じスーツ（従って数字は異なる）。こうなる確率は(24/50)(3/51)です。４枚目、５枚目で
[1] 既に２枚ある同じ数字を続けて引く。確率(1/48)(2/49)
-> ★成功！！この状態にくる確率は(1/48)(2/49)(24/50)(3/51)です。
[2] 既に２枚ある同じスーツの11枚から続けて引く。確率(10/48)(11/49)
-> ★成功！！この状態にくる確率は(10/48)(11/49)(24/50)(3/51)です。
[×]はずす確率は(1-(10/48)(11/49)-(1/48)(2/49))です。
-> ●失敗！この状態にくる確率は、(1-(10/48)(11/49)-(1/48)(2/49))(24/50)(3/51)です。

（１－Ｓ）３枚目はスカ。こうなる確率は(24/50)(3/51)です。もう後がない。
４枚目、５枚目で
[1] 同じ数字の2枚を続けて引く。確率(1/48)(2/49)
-> ★成功！！この状態にくる確率は(1/48)(2/49)(24/50)(3/51)です。
[×]はずす確率は(1-(1/48)(2/49))です。
-> ●失敗！この状態にくる確率は、(1-(1/48)(2/49))(24/50)(3/51)です。

（２）２枚目は１枚目と同じスーツ（従って数字は異なる）。こうなる確率は(12/51)です。
３枚目としては
[1] 同じスーツの11枚のどれか。確率(11/50)
[2] １枚目か2枚目と同じ数字の6枚。確率(6/50)
[S]スカの確率は(33/50)です。

（２－１）３枚目も同じスーツ。こうなる確率は(11/50)(12/51)です。これでスーツを揃えるしかなくなりました。
[1] ４枚目で同じスーツの10枚のどれかを引く。確率(10/49)
-> ★成功！！この状態にくる確率は(10/49)(11/50)(12/51)です。
[2] ４枚目でスカを引き、５枚目で同じスーツの10枚のどれかを引く。確率(10/48)(39/49)
-> ★成功！！この状態にくる確率は(10/48)(39/49)(11/50)(12/51)です。
[×]はずす確率は(1-(10/49)-(10/48)(39/49))です。
-> ●失敗！この状態にくる確率は、(1-(10/49)-(10/48)(39/49))(11/50)(12/51)です。

（２－２）３枚目は１枚目か2枚目と同じ数字（従ってスーツは異なる）。こうなる確率は(6/50)(12/51)です。４枚目、５枚目で
[1] 同じスーツの11枚のどれかを続けて引く。確率(10/48)(11/49)
-> ★成功！！この状態にくる確率は(10/48)(11/49)(6/50)(12/51)です。
[2] 既に２枚ある同じ数字を続けて引く。確率(1/48)(2/49)
-> ★成功！！この状態にくる確率は(1/48)(2/49)(6/50)(12/51)です。
[×]はずす確率は(1-(10/48)(11/49)-(1/48)(2/49))です。
-> ●失敗！この状態にくる確率は、(1-(10/48)(11/49)-(1/48)(2/49))(6/50)(12/51)です。

（２－Ｓ）３枚目はスカ。こうなる確率は(33/50)(12/51)です。もう後がない。
４枚目、５枚目で
[1] 同じスーツの11枚のどれかを続けて引く。確率(10/48)(11/49)
-> ★成功！！この状態にくる確率は(10/48)(11/49)(33/50)(12/51)です。
[×]はずす確率は(1-(10/48)(11/49))です。
-> ●失敗！この状態にくる確率は、(1-(10/48)(11/49))(33/50)(12/51)です。

（S）２枚目はスカ。こうなる確率は(36/51)です。
まだ完全にアウトではありませんが、もう後がない。３枚目としては、
[1]１枚目と同じスーツで２枚目と同じ数字、あるいは２枚目と同じスーツで１枚目と同じ数字、の2枚。確率(2/50)
[2]１枚目か2枚目と同じ数字の6枚のうち、[1]の2枚を除く4枚。確率(4/50)
[3] １枚目か2枚目と同じスーツの24枚のうち[1]の2枚を除く22枚。確率(22/50)
つまり、残り50枚のうち、狙うのは28枚です。
[×]はずす確率は(22/50)です。
-> ●失敗！この状態にくる確率は、(22/50)(36/51 )です。

（S－1）３枚目で「１枚目と同じスーツ、２枚目と同じ数字」あるいは「２枚目と同じスーツ、１枚目と同じ数字」をひいた。こうなる確率は(2/50)(36/51)。
まだ、スーツを揃えに行くのか、数字を揃えに行くのかは確定しません。
４枚目、５枚目としては、
[1] スーツを揃えるには、既に２枚あるスーツと同じ、11枚のうちの２枚を引く。確率(10/48)(11/49)
-> ★成功！！この状態にくる確率は(10/48)(11/49)(2/50)(36/51)です。
[2] 数字を揃えるには、既に２枚ある数字と同じ、２枚を引き当てる。確率(1/48)(2/49)
-> ★成功！！この状態にくる確率は(1/48)(2/49)(2/50)(36/51)です。
[×」はずす確率は(1-(10/48)(11/49)-(1/48)(2/49))です。
-> ●失敗！この状態にくる確率は(1-(10/48)(11/49)-(1/48)(2/49))(2/50)(36/51) です。

（S－２）３枚目で、１枚目か2枚目と同じ数字の6枚のうち、「１枚目と同じスーツで２枚目と同じ数字、あるいは２枚目と同じスーツで１枚目と同じ数字、の2枚」を除く4枚のどれかを引いた。こうなる確率は(4/50)(36/51 )です。
もう、数字で行くことは確定しましたし（スーツは３枚ともばらばらです。）その数字も決まりました。
[1] ４枚目と５枚目で続けて残り２枚の同じ数字を引く。確率(1/48)(2/49)
-> ★成功！！この状態にくる確率は(1/48)(2/49)(4/50)(36/51 )です。
[×]失敗する確率(1-(1/48)(2/49))
-> ●失敗！この状態にくる確率は(1-(1/48)(2/49))(4/50)(36/51 )です。

（S－３）３枚目で、１枚目か2枚目と同じスーツの24枚のうち、「１枚目と同じスーツで２枚目と同じ数字、あるいは２枚目と同じスーツで１枚目と同じ数字、の2枚」を除く22枚のどれかを引いた。こうなる確率は(22/50)(36/51 )です。
もう、スーツで行くことは確定しましたし（数字は３枚ともばらばらです。）そのスーツも決まりました。
[1] ４枚目と５枚目で続けて同じスーツを引く。確率(10/48)(11/49)
-> ★成功！！この状態にくる確率は(10/48)(11/49)(22/50)(36/51 )です。
[×]失敗する。確率(1-(10/48)(11/49))
-> ●失敗！この状態にくる確率は(1-(10/48)(11/49))(22/50)(36/51 )です。

No.3 回答者： rukaandkaito 回答日時： 2000/12/25 18:41

先の方の意見が少し納得がいかないため記述します。

トランプは５２枚ありますが、同じ数字は４枚ずつある訳ですよね！
ということは、
１枚目の確立は１／５２、同じ数字なので、
２枚目の確立は３／５１、
３枚目の確立は２／５０、
４枚目の確立は１／４９です！
５枚目は何でも良いので、１／４８だから
同じ数字を４枚引く確立は１／５１９７９２００では？
上記は順番が変わっても確立は変わりません。
理由は分母の数（残りカード枚数）は、必ず５２，５１…４８になります。
分子の数も同じく１枚目は必ず１で同一のカードを引き当てるたびに、１ずつ減っていきます。
違うカードは残り枚数の内の１つを引き当てるので、１，１，１，２，３となります。

次に同一シーク（絵柄）の場合
１枚目の確立は１／５２
２枚目の確立は１１／５１
３枚目の確立は１０／５０
４枚目の確立は９／４９
５枚目の確立は１／４８ですね！
つまり、１１／３４６５２８０になります

で、双方を足せば結論が出ます。
＝１／５１９７９２００　＋　１１／３４６５２８０
＝１／５１９７９２００　＋　１６５／５１９７９２００
＝１６６／５１９７９２００
＝１１／３４６５２８０

で、大体３５万５千分の１です!?
もの凄い確立のように思えますが、ランダムに引いた５枚のカードの出現率は１／３１１８７５２００ですから、
３億以上のパターンのうちから引き当てることを考えると、中々の確立ではないでしょうか？