質問

小学生の範囲ですが、
分数の割り算は、分母と分子を入替えて掛けると覚えました。
当時は、テクニック(解法)として覚えましたが、理由を教えて下さい。

単純に、私に教えてくださる場合と、
小学生の子供に教える場合の模範などをお願いします。

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回答 (6件)

分数A/Bは、
A÷B をとりあえず保留しておいたものです。
A÷B を A/Bと表すことにしたので、
A/B は、A×(1/B)とみなすことができます。
ところで
Z÷(A/B)は、いくらかというと
Z÷A÷(1/B)で
Z÷A が Z/A だから
Z/A÷(1/B) で
Z/(A×(1/B)) で
Z/((1/B)×A)
ここで、
Z/(1/B) の部分に着目して(1/B)=C とすると
Z/C で A/B は、A×(1/B)より
Z×(1/C)
ところで、(1/B)=C だから (1/C)=B で
Z×(1/C)=Z×B
まとめると、
Z÷(A/B)はZ×B/A

この回答へのお礼

回等には、お礼申し上げます。
ただ、この理論は、小学生に教えるのは非常に難しいです。

んー小学生に、ってことなので数式ではなく概念的な解説をしてみます。

まず割算というのは A÷Bと書いたときに、Aの中にBがいくつ入るか? またはAをBずつ分けていくといくつに分けられるか? という考え方から始めます。

10÷2を前者の考えで解けば、十個の落とし穴を二個ずつ埋めれば何回で埋まるか。
後者の考えで行けば、十のリンゴは二個のリンゴがいくつセットになっているか。
で解くことが出来ます。この場合考え方が異なっているように見えますが、同様の考え方を行っているので、答えは同じ数になりますよね。図示してみればすぐわかると思います。

分数の割り算を説明する際は、この場合の前者の考え方を使用するとわかりやすいです。
つまり、落とし穴を、半分(1/2)ずつ埋めていけば、何回かかるか?
10÷(1/2)なら20回かかる。というわけです。

ですがこれだけだと複雑な分数の際は難しくなります。一回で穴を(3/5)ずつうめたら・・・なんていわれてもイメージできませんからね。
なので、ここから分数の上下を反転させる話に入りますが、少しややこしいのですが、分数というのは分母で区切ったものが分子の数だけ存在するということを考えます。
つまり3/5は、五等分したケーキの3カットということですね。

そして、10÷(3/5)なら一回の作業ごとに落とし穴の(3/5)ずつ埋めていくわけです。穴を5個に区切ったときに3個分ずつ埋めていくとも言い換えられます。つまり穴一つにつき5区切り分あるわけです。
じゃあ、穴の数ではなくて、穴を区切った一区切りの数を考えると、一つの穴につき5個ですから50個になりますね。それを3個ずつ埋めていくという考え方もできるわけです。
これはつまり 50÷3 ということになるのですが、ここまで理解できれば後は非常に簡単です。
つまり、
A÷(B/C)という式は、AをC個ずつ区切って、A×C個の数があると考え、A×Cの中にBがいくつはいるか、という考え方で割り算をしているわけです。

図示しながら説明すればもう少しうまく説明できると思うのですが、こんなところでご理解していただけましたでしょうか?

この回答へのお礼

ありがとうございます!
頂いた回等の中で、一番小学生に説明しやすい例えを教えて頂き、ありがとうございます。

 整数で割る割算と分数や小数で割る割算は意味が違うのです。小学校で教える整数の割算はたとえば複数のみかんを何人かに分ける計算ということで教えますね。だから割算と言います。

 ところが少数や分数で分けることは不可能ですよね。そこでもう一つの割算の定義が必要になって来ます。それはかけ算の逆算だと定義するのです。

 つまり A×B=C でCとAが分かっているときにBを求める計算を割算であると定義したのです。

そこでAが 1/P(P:整数)のとき

  (1/P)×B=Cが成立するようなBを計算しようとすると
両辺にPを掛けて

        B=C×P

となり分母は引っくり返して掛ければいいという結果になりますね。Aが分子を持つときは普通の割算ですから、これは分母になります。だから分数の割算は引っ繰り返して掛ければいいのです。

 数学の演算はこのように定義するものが殆どなのですよ。たとえば負数が入って来たときの演算はちょっと説明不可能ですよね。

 そこで最も便利なように定義を与えるということをやるのです。

 たとえば (ーA)×(ーB)=AB となる訳を説明できるでしょうか? これは定義なのです。問答無用なのです。こうしておくと負数の四則演算がいろいろな自然科学の現象をときあかすときに便利なのです。

 たとえばA×B=B×Aが成立しない物理現象があります。この場合は四則演算の規則を変えなければならないのです。

 一応専門家をクリックしますが、物理の専門家です(^_^;)

この回答へのお礼

分かりやすい説明、ありがとうございます。
ただ、方程式、つまり、両辺に同じものを掛ければ、同じという勉強は中学レベルに上がってしまいます。

「おもひでぽろぽろ」というアニメに分数の割り算で悩むシーンがありましたね。

そこで「おもひでぽろぽろ 分数の割り算」で検索すると,YAHOOでおよそ200件。
下のサイトが簡潔で気に入りました。

「2kmは何mですか?・・・2÷千分の1=2×1000」

この回答へのお礼

ありがとうございます。
ただ、○分の1しか出てこない計算では、
小学生でも、完全に納得させるのは厳しいでですね。

(A/B)÷(C/D)の意味を考えてみると、前の数値が後の数値の何倍かを求めていることになります。つまり、(A/B):(C/D)の比の値を求めることになります。とすると、比の前後に同じ数値をかけてもいいことになるので、両方に、B×Dを掛けてみましょう。すると、(A×B×D/B):(C×B×D/Dとなり、(A×D):(C×B)と簡単になります。この比の値が元の分数の割り算の答えなので、(A/B)÷(C/D)=、(A×D)/(C×B)。これは、後ろの分数の分母・分子を入れ替えて掛けたことと同じです。よって、割り算は後の分数をひっくり返して掛ければいいことになります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
ただ、私は理解できましたが、
小学生に説明するのは難しいそうですね。
ありがとうございました。

あー、小学校の頃は授業で説明しろと言われてめちゃくちゃ苦労した覚えがあるけど今考えると説明はもっと簡単だ

b/a ÷ d/cを求める。
前者に後者がいくつあるか判りやすくするために分母を通分する

bc/ac ÷ ad/ac

これは(あまりを考えないから)

bc ÷ ad = bc/ad

よって割る数の逆を取って割られる数に掛けた数に等しい■

この回答へのお礼

なるほど、割算でも通分で考えるのか!
これなら、小学生にも工夫すれば教えられそうですね。
ありがとうございます。

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