なんべんもすみません!こたえてくれてるかたがた。。
無限級数の方はけっこういいかんじにわかってきました!!!

無限級数1+ x(1-x) + x^2(1-x)^2 + ・・・
が収束するとき、
(1)xの範囲を求めよ。
(2)この無限級数の和Sの範囲を求めよ。

ってやつで、(1)は、できて、(2)の範囲の一部分はわかったけど、のこりがわかりません。
ちなみに(1)の答えは(1-√5) /2<x<(1+√5)/2
で、(2)は、1/2<x まで分かったけど、解答には1/2<x≦4/3 とかいてあって、のこりの範囲x≦4/3がわかりません。。。おしえてください!!

A 回答 (3件)

S=1/(x^2-x+1)=1/((x-0.5)^2+3/4)であり


(1-√5)/2<0.5<(1+√5)/2だから分母は3/4以上
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どうも,ふたたびです.


先ほどのものよりも結構ムズカシイですね.
解き方をいうのは簡単ですが,そこまでのプロセス,矛盾を理解するのが多少厄介です.
ある程度正しい理解をしてほしいので,説明をつけておきます.

------------------------------------------------
まず,
   r=x(1-x)
としたとします.つまり,rは当数列の公比です.ここで,等比数列においては,

   総和Sが収束する
   →-1<r<1である
   →S=a/(1-r)

ですので(これは数学3の教科書にでも書いてあるでしょう),

   r→-1  ・・・  S→a/2  ・・・  最小
   r→1  ・・・  S→どんどん大きくなる  ・・・  最大

というイメージになりますので,本問題においては,S>1/2でいいじゃないか,と思いますよね.
しかし! ここで問題になるのが,r→1という状況です.
本当に-1<r<1なら,答えはS>1/2の可能性がありますが,(←これも本当はちょっと違うんですが,深入りはしません),
   r=x(1-x)=1
を試しに解いてみましょう.すると,xの答えは複素数ですね.

ここで何が起こっているかと言うと,
「xは複素数でも,rは実数になる=だからSは収束する」
となっているのです.言い換えると,
「xが実数の範囲では,r=1という値は取り得ない」
ということです.
(xが複素数というのは,「xに大小がない=xの“範囲(=対象)”に入らない」とイメージすれば,不適切ですよね.)

じゃあ,「xもrも共に実数である範囲」=「xが実数のとき,rはどういう領域の値をとるのか」を検証する必要があります.そこで,rを縦軸,xを横軸にとって,r=x(1-x)のグラフを書いてみましょう.すると・・・!

そうです!二次関数となります.ここで,実際に縦軸上に-1<r<1という範囲を取ってみると,この二次曲線は,-1<r≦1/4という範囲しか通っていませんね.つまり,1/4<r<1という範囲は二次曲線が通らない領域なので,xは当然複素数になってしまい,おかしな話になってしまいます.

というわけで,-1<r≦1/4の範囲でのSを求めると,

   r→-1のとき,S→1/2  (x=(1+√5)/2,(1-√5)/2のとき)
   r=1/4のとき,S=4/3   (x=1/2のとき)

たしかに1/2<S≦4/3となっているんですよ.
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この回答へのお礼

ありがとうございます!!1
とってもよくわかりました★

お礼日時:2002/02/25 10:11

 ヒントですが・・


 公比をrとすると、r=x(1-x)であることは分かっていると思います。
 ただ(1)において、-1<r<1を用いていますが、実は、rには最大値があります。
 それを、てがかりにされてはいかがでしょうか?
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