N世代人口予測についてどう計算しますか?

Question

氏族の人口予測？ 

A族 毎カップルあたりの出産率は 2.50人です。
B族 毎カップルあたりの出産率は 1.00人です。
C族 毎カップルあたりの出産率は 0.95人です。

10世代までに、
各家族に、何人のメンバーが存在したことがありますか? 

より速い方法で計算する何か公式がありますか?

それぞれが10のカップルから始めます。 
仮定:
(1) すべての子孫に、3氏族の外で他の誰かと結婚します。 
(2) 子孫は互いと結婚しません。
(3) 離婚がありません。再婚がありません。
(4) 一族のすべてのメンバーは同じ姓を示す必要はありません。 
(5) 10%の不妊（病気、同性愛、事故などから変化するいかなる理由による）

例えば、毎カップルあたりの出産率は1.00；　0%の不妊：
第１世代：20人＝10カップル　；　子孫＝10人
第２世代　10人＝10人カップル（20人）；子孫＝10人
…
2番目の世代が赤ん坊を生んだ後に　総数＝50人です。
(3世代)　お爺さん10、お婆さん10、父10、母10、子供10

より速い方法で ３家族の差額を計算する何か公式がありますか?

stomachman · Accepted Answer

「10世代までに、各家族に、何人のメンバーが存在したことがありますか?」とのお尋ねですが、どうも言葉の意味が分かりにくい。ひょっとして、人口ではなくて延べ人数を尋ねていらっしゃるんでしょうか。

　ところでいくつか質問があります。
a: もし人口を計算するのなら、爺さん婆さんは幾つで亡くなるんでしょうか。永久に生きてるんですか？

b: たとえばA族のひとりaさんが、外国からムコさんを迎えたとします。そのムコさんはA族に編入するんでしょうか？

c: たとえばA族のひとりaさんが、外国からムコさんを迎えて2人の子をなしたとします。で、その2人の子はA族に属するものとするんでしょうか？

d: 生まれた子のうち何％が、カップルになる歳になるまで生きているんでしょうか。また、何％が実際にカップルになるんでしょうか。

e: 小数点以下の半端な人数をどう扱うんでしょうか。たとえばc族の第2世代なら0.95 × 10 = 9.5人ですけど、この0.5人の半人前はどうしましょうか。

f: 「３家族の差額」たあ、一体どういう日本語でござんしょうか。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　もしも、ご質問が直系子孫の延べ人数を尋ねていらっしゃるのだと仮定したら、
a: 死ぬかどうかは無関係（家系図に残っていれば数える）
b: No.
c: Yes, 
は必然です。さらに、もしも
d:どっちも100%, 
e: うるせーこと言うな。半端のまま計算して。
f: レポートの課題を人口の話に書き換えたら変な日本語になっちゃった、ということでは決してない。
ってことで宜しいのなら、とても簡単。以下に回答しておきます。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　ご質問によれば、A,B,C三つの「族」は互いに無関係だから、それぞれ別々に計算すれば良いですね。第n世代の人数をP(n)、その「族」の「出産率」をr人とするとき、
P(n) = rP(n-1)
ですから、
P(n) = (r^(n-1)) P(1)
となります。
　また、第n世代までの延べ人数をT(n)とすると、
T(n) = P(1)+P(2)+…+P(n) = P(1) ((r^0)+(r^1)+…+(r^(n-1)))
となり、(r^0)+(r^1)+…+(r^(n-1)) は等比級数の和なので
(r^0)+(r^1)+…+(r^(n-1)) = ((r^n)-1)/(r-1)
ですから、
T(n) = P(1) ((r^n)-1)/(r-1)
となります。（なお(r^n)というのは「rのn乗」ってことです。）この公式にP(1)=10、n=10を代入して、A,B,C族それぞれについてrに値を入れれば、電卓で計算できます。

stomachman · Answer

No.4の補足に関してコメントです。

> あの人の最簡単の方法（簡単でしたが、それは間違っていました。）：
> Ａ = (10 x (2.5) ^ 10) x2 
> Ｂ = (10 x (1) ^ 10) x2 
> Ｃ = (10 x (0.95) ^ 10) x2 ＝　11？？？
> まるで2番目と3番目の1つが完全に間違っているかのように見えます… 
> 数はとても小さいです。 


●いいえ。間違いではないですよ。
Bの場合、どの世代の人数も同じのままです。難しい式など使わないで、実際に計算してみれば分かるでしょう。やってみましょう：

　第1世代が10人です。
　この10人全員がそれぞれ結婚して、20人になります。10組のカップルができます。
　それぞれのカップルが子供を平均1人作るから、第2世代の人数は10人です。
　この10人全員がそれぞれ結婚して、20人になります。10組のカップルができます。
　それぞれのカップルが子供を平均1人作るから、第3世代の人数は10人です。

　この通り、どの世代も10人（結婚して20人）なのです。

●そして、Cの場合には、世代ごとに人数は減って行きます。

stomachman · Answer

おっとと訂正です。

> rが2よりも少ない場合、P(n)はどんどん減って行きます。

は

「rが1よりも少ない場合、P(n)はどんどん減って行きます。」に訂正。


　同じ「族」の者同士だけで結婚すると考えた場合には「rが2よりも少ない場合、P(n)はどんどん減って行きます。」になるんですが、ご質問の場合は、同じ「族」の中での結婚を禁止していますから、「rが1よりも少ない場合、P(n)はどんどん減って行きます。」になります。

　現実にはどうでしょうか。同じ「族」の者同士が結婚することもあれば、外からヨメやムコを取ることもある。これも文化によります。また、「族」の規模が非常に小さい場合には、同族結婚は少ないでしょうし、規模が非常に大きい場合には、逆に同族結婚の方がずっと多いでしょう。だから、「族」の規模にも依ります。

　この意味からも、仰るようなシミュレーションには、現実をモデル化するほどの精度は期待できないでしょう。

stomachman · Answer

●「息子の妻と娘の夫を含む仮定で非常に難しくなっている」のではなくて、「息子の妻と娘の夫を含む」かどうかで答は丁度２倍違うのです。

●「出産率」rを、人口統計のデータをもとにして決めるのですね？通常、不妊も出産率の中に入っています。なぜなら、「出産したカップルだけについての子供の数の平均」などという統計の取り方はしないからです。
aries35さんがどうしてもrを「出産したカップルだけについての子供の数の平均」だということにしたいのなら、教えてもらった式の通り、rの代わりに (1-不妊率）r を使えば良いのです。

●既に答を教えてもらっていたのですね。
A = (10 x (2.5) ^ 10) x2 
これは第11世代目の人数（ヨメさん、ムコさんを含む）を表しています。

回答No.1で既に説明したように、n世代目の人数は
P(n) = (r^(n-1)) P(1)
です。

P(1)=10、r=2.5、n=11
を代入すれば
P(11)=10×(2.5^10)
であり、
配偶者（ヨメさん、ムコさん）も「族」に加わるとするのなら、その２倍ですから、
2×P(11)=2×10×(2.5^10)
となり、「だれか」に教えてもらった計算式と一致します。なお、これは複利計算そのものです。rが2よりも少ない場合、P(n)はどんどん減って行きます。

●しかし、aries35さんが質問したのは、「10世代までに各家族に、何人のメンバーが存在したことがありますか?」であるから、
T(10) = (P(1)+P(2)+…+P(10))
を計算する必要があります。（ヨメさん、ムコさんが「族」に含まれるのなら、2×T(10)を計算します。）

これを早く計算する方法が
T(n) = P(1) ((r^n)-1)/(r-1)
です。たとえば
P(1)=10、r=2.5、n=10
であれば
T(10) = 10 x  ((2.5^9)-1)/(2.5-1)
となります。

●「世界の各女性が生む赤ん坊の数のランキングを見ました。ある言語を話す人の人口が縮まると疑います」ということをシミュレーションで検討するのが、aries35さんの本当の目的であるのなら、ご質問とは違って「第n世代の人数」P(n)だけに注目するのが良いです。T(n)は人口ではない。古い世代の人は死んでしまうからです。だから、「だれか」が教えてくれた式は適切だと言えます。


●実際に近いシミュレーションをするためには、もうひとつ、重要なデータが必要です。
第n世代の人（P(n)人）のうちのいくらかは、別の「族」にヨメやムコに行ってしまって、その子孫は「ある言語を話す人」ではなくなってしまいます。
例えば、ある世代のうち自分の言語を子孫に伝えない人の率をsとするのなら、rの代わりに r(1-s) を使って計算する必要があります。つまり
P(n) = ((r(1-s))^(n-1)) P(1)
です。たとえば r=2.5, s=20%, P(1)=10, n=10ならば
P(10) = ((2.5×(1-0.2))^9)×10
となります。
　s（つまり、「自分の言語を子孫に伝えない人の率」）は、その「族」の文化によって大きく違うでしょう。
　例えば、日本語のように、地域的に孤立していて、しかも他の言語と似ていない言語では、sはほとんど0になるでしょう。
　日本の中にもアイヌ族がいて、独自の言語を持っています。彼らは自分たちの言語を子孫に伝えようという強い意識を持っているために、たとえ別の言語を話す人と結婚しても、子孫に言葉を伝えようとします。だから、sはあまり大きくない。
　しかし、似た言語が幾つも存在している地域に、自分たちの言語をあまり大切にしようと思わない文化があれば、sは大きいでしょう。


●実際に近いシミュレーションをするために、もっと重要な要因があります。それは、rやsがいつも一定ではない、ということです。これらは生物学的な定数ではない。
　例えば、戦争、飢餓、経済的危機、急激な移民などがあると、数十年(わずか1～2世代）の間にrやsが変化します。また、rやsは人間がどう思うかによっても変化します。ある民族が子孫を残して行きたいと強く願うようになれば、rが大きくなるでしょうし、sは小さくなるでしょう。しかし、人口がとても少なくなってしまった言語は、幾らrを大きくしてもsを小さくするのが難しいために、消滅するでしょう。
　だから、現在のrの値を使って10世代もの長期間に渡ってシミュレーションするのは、「実際に近い」とはとても言えません。

stomachman · Answer

> a.b.c. 
> それまでに家族の中に存在した人があったどんな人の総数も見つけたいと思います。

　質問aに関して、「族」のメンバーなら生きていても死んでいても数える、ということでしょう。回答No.1はそのようにして計算してありますからご心配なく。

> これは世界主義的見解の21世紀です… 
> 女性は各家族と各世代で重要です。

　ここは数学カテなんですから、そんな話をされてもね。そもそも、一体誰が、女性の話なんかしてるんでしょ？
　質問bは、「族」の外から来た配偶者を「族」の人数の勘定にいれるのかどうか、という単純な質問ですが、質問者には答えられないのでしょうか。なお、No.1の回答では配偶者を勘定に入れていません。（勘定に入れたければ、答を２倍にするだけです。全員が丁度ひとりの配偶者を持つのだから。）

　また、質問cも、子供は全員「族」に入れるのか、という単純な質問ですが、これも答えられません？回答No.１では、子供は全員「族」に入れるものとしました。

> d.毎カップル＝結婚＋赤ん坊。何年何歳も数えません。世代で数えます。

　もちろん、年齢は無関係です。dの質問は、生まれた子供が成長して結婚するまでにどれだけ死ぬか、と尋ねたのです。
　でも、質問aで「死んでも数える」というのが答だとすると、死んでも関係ない訳ですから、結局dの質問で尋ねているのは、「生まれた子のうち何％が実際に結婚するんでしょうか」です。（全部が結婚するとは限らないでしょ？）
　回答No.1では100%と仮定しました。

> e. 数学の世界で可能であるなら、小数点で、計算してください。

　現実の世界で可能でなくて良いのですね？No.1はそのように計算してあります。

> f. ３つの家族の(別々の)人口の差額.

「差額」はご自分で引き算してください。

> 家族の夫婦の赤ん坊出生率に従って、赤ん坊を生む夫婦が赤ん坊を生むでしょう。 
> 10%の不妊率を加えます。(多くの理由のため赤ん坊を生まないカップルのケースを含む) (それをより現実的にする)
> 10%の不妊率を考えて、10の夫婦が、9つの夫婦が子供があります。

　「全ての夫婦について、平均して何人の子供ができるか」が、おっしゃるところの「出産率」なのだから、例えば「出産率」が２で夫婦が100組いれば、子供は200人。
　どの夫婦も２人の子供を持つ、という訳ではなくて、子沢山の夫婦もいれば、子供の居ない夫婦もいるでしょう。しかし平均して夫婦あたり子供が2人である。そういうことです。だから、「赤ん坊を生む夫婦」と「赤ん坊を生まない夫婦」の比率が幾らであろうと、関係ないのです。

　しかしまあ、「出産率」を「赤ん坊を生む夫婦に限ると、平均何人の子供ができるか」の意味に変更したい、と仰るのであれば、回答No.1の「出産率」rの値を0.9倍して計算するだけの事です。（「赤ん坊を生まない夫婦」10%を差し引くから0.9になるんですよ。）

 ですから、「計算する公式」は回答No.1に書いてあります。あとはご自分で電卓を叩くだけです。

stomachman · Answer

あ、「10%の不妊」てのについて説明を忘れてました。stomachman、追加です。
　おそらく「不妊」のカップルは結局子供が一人もできない、ということを意味しているのでしょう。けれど、「毎カップルあたりの出産率」が与えられている以上、そんな個別の事情はどうでも良いことですから、計算には現れません。
　もうちょっと詳しく説明しましょうか。例えば「毎カップルあたりの出産率」が1だとします。「不妊」が0%なら、どのカップルも平均1人の子を作る訳ですね。これがもし「不妊」が99%ならどうでしょうか。不妊でないカップルは（100組中1組しかないのですけれど、）平均100人の子をなす、ということです。でも、カップル間でいくら偏りがあったって、子の人数には影響しません。

N世代人口予測について どう計算しますか?

「10世代までに、各家族に、何人のメンバーが存在したことがありますか?」とのお尋ねですが、どうも言葉の意味が分かりにくい。

この回答への補足

No.4の補足に関してコメントです。

この回答への補足

おっとと訂正です。

●「息子の妻と娘の夫を含む仮定で非常に難しくなっている」のではなくて、「息子の妻と娘の夫を含む」かどうかで答は丁度２倍違うのです。

この回答への補足

> a.b.c.

この回答への補足

あ、「10%の不妊」てのについて説明を忘れてました。

この回答への補足

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