組み合わせの公式について教えて

久しぶりに数学勉強してます。

組み合わせの問題は公式を使えば簡単にできるのですが、
なんで組み合わせの公式は分母と分子になってるのかわかりません。

なにかこの公式を理解できる方法ありましたらおしえてください。

No.1 回答者： ymmasayan 回答日時： 2002/03/03 22:59

順列 nPr = n!/(n-r)!

組合せ nCr = nPr / r! = n! / {(n-r)! r!}
であらわしますよね。（参考ＵＲＬを見てください）　どちらも分母がありますね。

組合せの数は順列の数を　r! で割ったものです。

まず順列です。ｎ人の生徒からｒ人の選手を選んでリレーで走らせます。
このときの走る順番の並び方（順列）の数は第1走者はｎ人誰でもよく、第２走者は先頭の一人を除いた（ｎ－１）人なら誰でもよく・・・ということで　nPr　の式が導き出されます。

次は組合せです。先ほどと同じ条件で走る順番に関係なく、メンバー表の種類の枚数を考えます。（これが組合せです）。先ほどの順列ではr人のランナーの走順を変えたものがたくさん重複している事がわかりますね。重複の数はr人からｒ人を選んで並べる順列の数になります。
従って分母にｒ！が来るのです。
判りにくければ補足して下さい。

参考URL：http://www.fatty.or.jp/math/comb.html

No.2 ベストアンサー 回答者： sloth 回答日時： 2002/03/03 23:07

1,2,3,4の4枚のカードの中から2枚選ぶ組み合わせは何通りあるか、という例題で考えてみましょうか――4という数字が縁起悪いなんて言わないで。

原始人的な書き出し方でいくと、
　(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)
の6通りあるということがわかります。
これを計算してみましょう。
まず、4枚のカードを2枚「並べる」やり方は何通りあるか考えます。
　□□
というふたつの「箱」に1～4の数字を入れる。
最初の箱には1～4の4通り入れることができます。
次の箱には、最初の箱に一枚使ってしまったから、3通りに減ります。
したがって、
　4（最初の箱）×3（次の箱）＝12通り
となります。
これを組み合わせに発展させましょう。
この12通りの中には（○、△）というペアに対して、（△、○）というひっくり返したペアが含まれています。
ちなみに、カードは同じやつが使えないから、（○、○）というホモ的なペアは使えないのねん。（自分でかいててちょっとげっそりする。。）
というわけで、ひっくり返したペアの分をとっぱらわなければならない。
この作業は、同じカードの組み合わせが無いから、単純に2で割ってやるだけでいいです。つまり、
　12÷2＝6通り
となって、原始人的解法と一致しました。
この作業の最後で2で割っていますが、これが公式の分母の意味なのです。
これを公式でやると、
　C(4,2)=(4×3)/(2×1)=6
となるわけ。
組み合わせの公式を使わずに問題を解いてみると、本質が良くわかります。
数学では公式というのはある意味麻薬です。
そんなもの、多用するべきじゃないと思いますね。

では頑張ってください。

No.3 回答者： sssohei 回答日時： 2002/03/03 23:26

順列の公式はOKでしょうか？

nからrこ選んで、順不同で並べるとき、最初はn個選べ、次はn-1個、、、最終的にn-r+1個になるまで選んでいくことと同じなので、
n * (n-1) * … * (n-r+1) = n! / (n-r)! 通り

組み合わせなのですが、

分子は組み合わせを被って数えて何通りあるか（順列）
分母はその個数での組み合わせが　何通りあるか
となっています。（わかりにくい表現でごめんなさい

つまり
1234 を順序に関係なく２つとって、並べれば、 4P2 = 4!/(4-2)! = 12通り。
12 13 14 21 23 24 31 32 34 41 42 43
しかし、今、12,21、13,31等は同じとしたいので、それぞれの組につき、2! 回ずつ(2P2)よけいに数えていることになる。
よって、 4P2 / 2P2 = (4!/2!)/2! = 4*3 / 2*1 = 6 通り
となります。

よって、一般化すれば、
nCr = n! / (r! * (n-r)!) = n*(n-1)* … *(n-r-1) / r! というようになります。
これが、おっしゃる公式でしょうか？^^;

いかがでしょう？

No.4 回答者： naoppe 回答日時： 2002/03/04 00:04

たとえば０から９までの数字を使って３桁の数字を作るときは

１０×９×８＝７２０通り

これは１０！を７！で割ったものです。

１０×９×８×７×６×５×４×３×２×１　　　　　　　１０！
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー　＝　－－－
　　７×６×５×４×３×２×１　　　　　　　　　　　　　　７！

ということになります。
しかしこれは順列であって組み合わせでは選んだ３個の数字の順番は関係ありませんので３個の数字の組み合わせの数６で割らないと重複してしまいます。

（例）１２３，１３２，２１３，２３１，３１２，３２１は組み合わせでは同じものなので６通りある。
これは３！で　３×２×１＝６ということです。

そこで　７２０÷６＝１２０　ということになります。
これをいっぺんに書くと

　１０×９×８×７×６×５×４×３×２×１　　　　　　　　１０！
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー　＝　－－－－
（７×６×５×４×３×２×１）（３×２×１）　　　　　　　　７！３！

となりこれが組み合わせを求める式になります。

分数になるのは階乗（こんな字だっけ？）を使うために割らないといけないので分数にしたほうがわかりやすいためだと思いますよ。

組み合わせだと選んだ数と残りの数の両方の階乗で全体の数の階乗を割るので、１０個の中から７個を選んでも３個を選んでも同じ１２０通りになりますね。

これを利用すると３０個の中から２８個を選ぶとき２個を選んだと考えて

３０×２９　　　　　２８！
ーーーーー　×　－－－
　２×１　　　　　　２８！

と考えると右の分数は１なので暗算でも答えがでます。
どちらか数字の小さいほうを選んで計算すると計算時間が少なくて済みます。

一般化した式は下の方が紹介しているので、具体的な例で書いてみました。

頭悪いのでここに分数を書き込むのに時間がかかっちゃいました（笑）

No.5 回答者： tnt 回答日時： 2002/03/04 00:25

順番を入替えても結果が変わらないものは、

とりうる場合の数を、その順番を入れ替える可能性の数で減らしてやる
必要があるからです。

たとえば、３人の中から２人を選ぶのなら、
Ａ，Ｂ　Ｂ，Ｃ　Ｃ，Ａ　の３パターンがあります。
Ｂ，Ａ　Ｃ，Ｂ　Ａ，Ｃ　は上のパターンと同じですから、
ひっくり返した場合の場合の数を減らしてやる必要があります。