ネーターの定理

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質問者：ONEONE
質問日時：2006/07/23 13:55
回答数：2件

ネーターの定理の適用方法がわかりません。

今、ラグランジアンは
L = (1/2)m(x'^2 + y'^2 + z'^2) - mgz
です。
これで、p[i](運動量ベクトルのi成分), l[i](原点まわりの角運動量ベクトルのi成分), E(エネルギー)が保存するかどうかを調べたいのですが、ネーターの定理の適用の仕方がよくわかりません。

ご教授いただければ幸いです。

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回答 (2件)

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No.1ベストアンサー

回答者： nabla
回答日時：2006/07/23 14:31

何かしらの無限小変換の下でのラグランジアンの変化が時間の全微分であれば対応するチャージが存在するわけですから、何かしらの無限小変換を実際やってみればいいわけですよ。

何でもかんでもやるとあんまりよくないので、z軸まわりの回転を例に取ります。

z軸まわりにθ回転すると　X＝xcosθ-ysinθ　Y＝xsinθ+ycosθ　ですから、θが小さいと
X＝x-θy　Y＝y+θx　です。

そこで
L(変換後)-L(変換前)
＝m/2(X'^2-x'^2+Y'^2-y'^2)
＝-mθxy+mθyx＝0
ですから、確かに時間の全微分しか違いませんね。（というより全く一緒）

ここまで来れば無限小変換の下での力学変数の変化も既に分かっていますから、教科書を参照すれば保存チャージもすぐに求まるでしょう。