微積分の問題です。問題は英語で書かれています。
原文: Find the exact area using the Fundamental Theorem of Calculus for the entire region between the positive x-axis and the graph of y=Kx^3 e^(-x^4) + L/(1+x^2) for K and L positive constants.
日本語訳: KとLが正の定数であるとき、正のX軸とグラフ y=Kx^3 e^(-x^4) + L/(1+x^2)との間の全体の領域の正確な面積を微積分学の基本定理を用いて求めなさい (と訳してみました)。
まず、Anti-derivative(不定積分)をしてみました。
∫Kx^3 e^(-x^4) + L/(1+x^2) dx
Kx^3 ∫e^(-x^4) + L arctan(x)
これは僕の計算機が出した答えです。
∫1/(1+x^2) dx = arctan(x)になるのは知っていますが
もう片側は果たしてこれでいいのかどうか…。
しかもKとLが数字ではないので、これからどうすればいいのか分かりません。
どなたか、この問題の解法を教えてください。
では、よろしくお願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
K,L は正の定数というだけしかわかっていませんから,
結果も K,L を含んだものになります.
被積分関数の
(1) Kx^3 e^(-x^4) + L/(1+x^2)
は x>0 でずっと正ですから,積分領域は0から無限大までです.
x →∞ のとき,主要部分は第2項で,x^(-2) のように振る舞いますから,
無限大まで積分してもちゃんと収束します.
L/(1+x^2) の不定積分はおっしゃる様に arctan(x) ですが,
第1項の方がまずいですよ.定数の K はおいといて
(2) ∫{0~∞} x^3 e^(-x^4) dx
の計算ですから,x^3 だけ勝手に前に出しちゃっちゃいけません.
(3) y = x^4
とでもおけば,
(4) dy = 4x^3 dx
ですから,
(5) (2) = (1/4)∫{0~∞} e^(-y) dy
で,直ちに積分値がわかります.
あとはお任せします.
最終結果は (1/4)K + (1/2)Lπ です.
ご回答ありがとうございます。
なるほど、「y = x^4」がこの問題のキーですね。
かなり長かったですが、なんとか解けました。
ありがとうございました。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 英語 Therefore, it appears to be more logical to avoid 2 2022/07/05 15:31
- 英語 Ninety bone level Straumann implants will randomly 1 2022/07/18 11:14
- 英語 Statistically significant differences (p < 0.05), 5 2022/05/03 01:09
- 英語 Because growth factors regulate abundance of micro 1 2022/03/28 10:12
- 英語 There is evidence in the literature that the peri- 3 2022/06/08 07:57
- 英語 The Twilight Zone1959に関するCBSの回答について 1 2023/03/02 15:13
- 英語 商品に印刷する言葉の英訳 7 2022/10/20 10:46
- 公認会計士・税理士 会計学初心者です。 xeroという会計ソフトを実際に使用して決算整理仕訳?を行うという課題が出ました 1 2022/10/07 14:57
- 英語 What do you think a sick child needs most during t 3 2023/04/03 09:23
- 英語 課題でこの英語の文章のSVOの分析や()等の括りを出されたため、できるだけ完璧にしたいのですが、自身 1 2022/12/16 13:29
おすすめ情報
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
e^(x^2)の積分に関して
-
積分の数式を声に出して読むと...
-
e^(-x^2)の積分
-
0の積分
-
積分の問題なのですが、途中か...
-
積分の問題でどの部分を置換す...
-
(x^3/√(x^2+1))の不定積分
-
置換積分と部分積分の使い分け...
-
積分の問題ですが、どこで間違...
-
高校の数学で積分できない関数
-
数学IIの積分の面積の公式につ...
-
e^(ax)の微分と積分
-
exp(ikx)の積分
-
積分においてxはtに無関係だか...
-
インテグラル∫とdxについて
-
積分計算のdtとdxの違いがわか...
-
積分の問題
-
積分のパソコン上のの表し方...
-
【数学】積分の音符みたいなマ...
-
楕円の円周をはかりたいのです...
おすすめ情報