指数関数

(1/2)の2x乗-3(1/2)のx乗+2≦0
この方程式を解きなさい。

この問題で、(1/2)のx乗をｔとおくと、

(t-2)(t-1)≦0
と因数分解できるので、
tの範囲は、
1≦t≦2と表せられます。
よって、
-1≦(1/2)のx乗≦0
このとき、底は１より小さいので
x≦-1、0≦x

と答えを出したのですが、
本当の答えは-1≦x≦0
となっています。
底が１より小さい場合は、不等号を逆にするのではないのですか？

No.6 ベストアンサー 回答者： pyon1956 回答日時： 2006/07/29 08:12

＞1≦t≦2と表せられます。

よって、
-1≦(1/2)のx乗≦0

ここが正しくないので、
1≦(1/2)のx乗≦2でないといけません。
さて、逆にするのはまだ早いので、この不等式をさらに底をそろえてすべて指数あるいは対数で書き直さなければなりません。
たとえば1≦(1/2)のx乗については、(1/2)の0乗≦(1/2)のx乗
ここで0とxの関係を考える時（いよいよ逆にします！）、≧をひっくり返して0≧x。
同様にして(1/2)のx乗≦2より、x≧-1もでてきます。（注。本来1≦(1/2)のx乗≦2は、1≦(1/2)のx乗かつ(1/2)のx乗≦2という連立不等式です。）

まあ混乱しやすいので私の場合、数学のあまり得意でない子に教える時は底を１より大きい数（この場合２）に直せ、と指導してますけどね。
そうすれば1≦2の(-x)乗≦2で、0≦-x≦1より-1≦x≦0になって簡単ですから。
なお(1/2)のx乗などは(1/2)^xと書くのが一般的なようです。

No.5 回答者： debut 回答日時： 2006/07/28 23:13

＞よって、

＞-1≦(1/2)のx乗≦0
　　tを(1/2)のx乗に戻すだけなので、１≦(1/2)のx乗≦２ですよね。

＞底が１より小さい場合は、不等号を逆にするのではないのですか？
　　これは、例えば(1/2)のx乗≦(1/2)の２乗のように、底をそろえて
　　表したとき、x≧2 のように逆になるということですね。
　　

No.4 回答者： mangou-kutta 回答日時： 2006/07/28 23:10

1≦t≦2から後

-1≦(1/2)のx乗≦0は間違いですね

1≦(1/2)^x≦2
1≦(2^(-1))^x≦2
1≦(2^(-x)≦2
∴0≦-x≦1
∴-1≦x≦0

とするとすっきりします

＞底が１より小さい場合は、不等号を逆にする
の適用の仕方が間違っています。
適用するとするなら
(1/2)^0=1≦(1/2)^x≦2=(1/2)^(-1)から
0≧x≧-1
という風に適用すべきですね

No.3 回答者： hika_chan_ 回答日時： 2006/07/28 23:07

数字が入っているので、実際に計算してみましょう。

1≦t≦2
1≦(1/2)^x≦2
Log[1/2](1)≦Log[1/2]((1/2)^x)≦Log[1/2](2)・・・・[]は底を表しています（１）

Log[1/2](1)=0・・・((1/2)^0=1)
Log[1/2]((1/2)^x)=x・・・(x*Log[1/2](1/2)=x)
Log[1/2](2)=-1・・・((1/2)^(-1)=2)

で、0,x,-1とでましたね？これを（１）式に代入してみます。
Log[1/2](1)≦Log[1/2]((1/2)^x)≦Log[1/2](2)
↓
0≦x≦-1・・・・・なんかおかしいですよね？
と、いうことで符号を”逆”にします。

そうすると答えになっちゃいます。

No.2 回答者： arus 回答日時： 2006/07/28 23:06

-1≦(1/2)のx乗≦0ではなくて、1≦(1/2)のx乗≦２ではありませんか？あとはは底が1より小さいので不等号を逆にして、-1≦x≦0とすればいいです。

一応別解を紹介します。y=(1/2)のx乗のグラフを書いてみてください。xが大きくなるとyが減少していくと思います。このとき、(-1,2),(0,1)を通ると思るので1≦y≦２のとき-1≦x≦0となります。

No.1 回答者： noname#20377 回答日時： 2006/07/28 23:00

1≦t≦2

1≦(1/2)^x≦2・・・まず一点目の誤り
1≦2^(-x)≦2・・・(1/2)^xは減少関数
0≦-x≦1
0≧x≧-1
-1≦x≦0