数学の問題、（図形と相似）解答の意味教えてください！！

問題
三角形PQRの辺QRの延長線上に点Sをとり、SP^2=SQ*SRが成立するとき、三角形PQRが内接する円と直線SPの関係を述べよ。

解答
SP^2=SQ*SRより、SP/SR=SR/SPと変形され、
三角形SPQ相似三角形SRP　　「←なぜ上の式が成り立てば相似になるのかがわかりません。」　　
ゆえに　角SQP=角SPR　(1)
さらに円周上に図のような点Ｔをとり、　（解答に図がありますが、ここで図がかけません。ごめんなさい。円の中心をＯとしたとき、ＰＯの延長線上で円と交差するてんがＴです)
角ＲＱＴ＝角ＲＰＴ（円周角）　(2)
(1)(2)より、角SPT=角SPR＋角RPT
=角SQP＋角RQT
　　　　　　　 =90度(直径の円周角)
よって半径(OP)とPSが直交するので、直線SPは円の接線となる。

No.2 ベストアンサー 回答者： debut 回答日時： 2006/07/31 20:58

SP/SQ=SR/SPは、SP:SQ=SR:SPということですよね。

△SPRの辺SPが△SQPの辺SQに対応し、
△SPRの辺SRが△SQPの辺SPに対応し、
△SPRの∠PSRと△SQPの∠QSPは同じ角です。
よって、「２組の辺の比とそのはさむ角が等しい」という相似条件に
適合します。
わかりにくければ、別の場所に、△SQPと対応する部分が同じに
なるように△SPRをかきなおしてみればいいかもしれません。
（ちょうど、△SPRをSを固定して裏返すといいのかな）

この回答へのお礼

おぉーー。よーくわかりました！！
確かに相似です！！
僕、自分で図を書く問題はどうも苦手で、debutさんはすごいですね。ありがとうございます！！

お礼日時：2006/08/04 01:10

No.1 回答者： noname#20377 回答日時： 2006/07/31 20:24

>SP/SR=SR/SPと変形され、

多分誤植

SP/SQ = SR/SP

【二辺の比と夾角相当】 三角形の相似条件の１つを示しています。２つの三角形は，対応する２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいとき，相似になります。

二辺の比と角PSQ ,RSP等しく

三角形SPQ相似三角形SRPは相似

この回答へのお礼

おっしゃるとおり間違いです。
こんなにも早い解答ありがとうございました！！
なるほど、SP/SQ = SR/SPは相似条件の一つだったんですね。

お礼日時：2006/08/04 00:37