s軌道1個、p軌道3個、d軌道5個…　となる理由は? - 物理学 - 教えて！goo

疑問に思われていることのほとんどは、構造化学（あるいは量子化学）の最初に「これ化学じゃなくて物理か数学だよ」という感想を抱きながら習うところの内容ですね。
ひょっとして、大学では有機化学や生化学の講義ばっかりで、量子化学の講義が無かったのでしょうか？
角運動量量子数、独立な波動関数（波動ベクトル）の数、波動関数の形状、極座標表示は全て量子化学で習う内容です。
ちなみに波動関数の数式は実際には極座標表示されます。
これは質問者さんも私も、動径方向（ｒの関数）と、角度方向（シータ、ファイの関数）を別々に扱っていることからも、明らかではないかと思いますが。
独学で理解するのは大変かもしれませんが、物理学や数学で微分方程式とその解法を習得されているのなら、自分で教科書を読むこともできます。
古い本ですが、裳華房の基礎化学選書12　量子化学　原田義也
をおすすめしておきます。
総合的な物理化学の教科書だと、数式の操作があまり載っていなかったりしますので、量子化学の入門書の方が良いです。

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一つ目の質問ですが、全ノード数が同じなら、という意味でしょうか？
電子一つしかない水素様原子なら、軌道エネルギーは主量子数だけで決まるので、確かにそうなります。
2s = 2p, 3s = 3p = 3d
ですね。
しかし一般の原子だと角運動量子数に依存しますので、主量子数が同じでも角運動量子数が大きい軌道の方がエネルギーは高くなります。
質問にある”ノード”が、動径部分のノードを除いた後の数を比較しているのなら、確かにそういう風に表現することもできるでしょう。しかし、2px = 2py = 2pz, 3dz^2 = ... = 3dx^2-y^2ということを言っているだけなので、あらためて別の表現をする必要も無い気がしますが。

2つ目の質問ですが、まずノードの数の解釈がごっちゃになっていませんか？
質問からすると、動径方向のノードの数を除いて比較されているようですが、それだとd軌道は2個になりますよね？もちろん、主量子数が同じなら全ノード数は共通なので、3s,3p,3dのノードは全て2個ずつです。
また軌道の対称性についてですが、d軌道の形は全てD2hの対称性を持っています（3dz^2だけはD(無限大)hですが)。もちろん、これらの線形結合で他の形状の軌道も作ることができます。しかしそうやって作成した軌道は、結局はもともとの3d軌道の混ぜ合わせでしかありません。
線形代数の言葉で言えば、もとの3d軌道は独立なベクトルである、ということです。

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