エルミート行列とユニタリー行列

ものすごく基本的なことなのですが
「エルミート行列A は、ユニタリー行列U を用いて、B=U-1AU の変換を行うと、行列B もエルミート行列になる。」
ということを証明したいのですが、どうすれば良いのでしょうか？
いろいろな本を見てエルミート行列とユニタリー行列について勉強しましたが、どうしてもこのことを証明することが出来ません。
どのようにすれば良いのかどなたか教えて下さい。

No.5 ベストアンサー 回答者： atomicmolecule 回答日時： 2006/08/15 16:42

できてますね

No.4 回答者： atomicmolecule 回答日時： 2006/08/14 02:29

先程複素共役転置はＯＫと書きましたが、すみませんが間違いでした。

Jaicaさんの複素共役転置は、行列の積に関しての転置が行なわれていません。二つの行列の積に関しての転置は

(A*B)^†=B^† A^†

です。これを三つの積へと拡張してください。

この回答へのお礼

(B)^†=(U-1AU)^†
　　　=(U)^†(A)^†(U-1)^†
　　　=U-1(A)^†U
　　　=U-1AU
　　　=B

これで良いのでしょうか？

お礼日時：2006/08/15 03:50

No.3 回答者： atomicmolecule 回答日時： 2006/08/14 01:08

ユニタリー行列の定義を思い出してください。

１）U^†がＵの逆行列ではありませんか？
つまりU^†=U^{-1}

２）エルミート行列の定義はH^†=Hでしたよね。
するとＨ’≡U^†H U　が

(H')^†=H'　となるかどうかを確認するんですよね

３）†が二回つくと元に戻るってのもいいんですよね？ つまり(U^†)^†＝Ｕ


＊）行列の積の複素共役転地はJaicaさんが書いてある通りでよいと思います。１～３を参考に手を動かしてください。

No.2 回答者： ojisan7 回答日時： 2006/08/13 20:34

>t(B)=Bですよね？t(U-1AU)=U-1AUになるというのでしょうか？

そういうことです。Kのエルミート共役をK^(†)と表すと、一般的に、(KL)^(†)=L^(†)K^(†)となります。したがって、
B^(†)=(U-1AU)^(†) =・・・・
となります。

この回答へのお礼

結局、どうすれば良いのですか？

B^(†)=(U-1AU)^(†) =(U-1)^(†)*(A)^(†)*(U)^(†)=

で、その先が分かりません。

お礼日時：2006/08/13 21:59

No.1 回答者： ojisan7 回答日時： 2006/08/13 19:42

両辺のエルミート共役（複素転置）をとれば・・・

この回答へのお礼

本当にすいません、
具体的に書いてほしいのですが。

t(B)=t(U-1AU)

Bがエルミート行列であれば
t(B)=Bですよね？
t(U-1AU)=U-1AU
になるというのでしょうか？

お礼日時：2006/08/13 20:07