質問

高校の先生から、微分(導関数)の記号:dy/dx は、1つの記号であって、
分数のように分母・分子に切り離してはいけないと教わりました。
しかし、逆関数での微分では、dy/dx を 1/(dx/dy)にしたり、積分するとき
の記号では、最後に dx をつけ、あたかも分母だけをつけた形にしています。

初めの dy/dx は、「dy は分子、dx は分母」と素直に考えたほうが
いいのではないでしょうか?

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回答 (10件)

>私は、このことは重要なことだと思います。
がえらく心に響いたので、蛇足というかナメクジに足のような回答です。

数学では同じ働きをするものは同じとみなします。
5個のりんごと5個のみかんでは数という意味で同じとみてしまえ!
というぐあいにです。
ですから、kbannaiさんが同じと思うのであれば同じと一度置いてみればいいのではないでしょうか?
それで分数の計算の性質をすべて満たすならば、
それは分数と同じように扱ってもまったくかまわないわけです。

というわけで
df/dx ± dg/dx = (df±dg)/dx
(df±dg)はどうしましょうか?
普通に考えると(df±dg)=d(f±g)としたいですよね。意味は
微分の加減算は加減算の微分といったところでしょうか?
実際これは正しい結果を与えます。
では分母が違う場合は?
df/dx ± dg/dy = (dfdy±dgdx)/(dxdy)
うーんこれはちょっとまずそうですね。
掛け算はどうでしょうか?
df/dx ・ dg/dx = (df・dg)/(dx・dx)
これもちょっと(左辺は数の掛け算ですが右辺は
なにやら極限操作のようなことをやっていますが意味が不明です)。
でも、
df/dy・ dy/dx =df/dx
ならOKです(通分できるならただしいようだ)。

という具合に一概に”本当の分数”とおいてはだめなことがわかります。
でも、いくつかの性質は本当の数のように見えますよね。
その性質はなにか? df +dg=d(f+g) だったり、df/dy・ dy/dx =df/dx
だったりです。df +dg=d(f+g) は、dxに関係なく(つまり下がdyだろうがdzだろうが
、しかも、xがどこの値のときでもお構いなしに成り立つ性質なので)
df、dgだけ数と見なせば都合が良いように見えます(ついでに定数を掛けても大丈夫です)。
一方、df/dy・ dy/dx =df/dxは変数をxからyに変換するような操作が割り算
(普通の数のようにできる)ことを示しています。
そこで、上のdf、dgと形を合わせてdf=(df/dx)dxやdf=(df/dg)dgという具合に表記すれば
df、dgを加減算のなかで数とあつかって、必要とあれば、ほかの変数にうつりあえるという、
えらく便利な「数」ができるわけです。
あとは、siegmundさんがおっしゃっているような、積分での変換の関係をうまく満たすように工夫
(ってちょっと面倒ですが)すれば、微積分に便利な「数」ができます。

という具合に、思ったことは試してみればよいのではないでしょうか?
自然科学や数学のよいとろこは、本人がどう思ったとしても、
それが間違いであればおのずとその間違いを正してくれることだと思います。
ですから、どんどん「思う」ことが大切なのではないでしょうか?
そして、思って試せば、その先が見えてくるのだと思います。
>私は、このことは重要なことだと思います。
というところに感銘したのはこういう理由です。

とまあ、恥ずかしげもなく書きたいこと書いていますが許してください。

> …私としては、(極限操作が背景にあることはいつでも頭に入れておいて)
> 初めから独立な量として習ってもよいと思いますが。

もっと進んだ段階では dx,dy を独立な量として扱うなら,
最初からそのように教えてもよいのではないか.
まったくおっしゃるとおりですが,高校の教科書にはいろいろ縛りがあるので,
そういう風な教科書は検定に通らないんじゃないですかね(自信なし).
また,数学は高校の段階でもう終わりでそれ以上進んだ段階には行かない人も
大勢います.
実際,大学で文系に進むとあんまり数学やらないでしょう.
また,どこかでつまづいてしまって,
微分は微かに分かる,積分は分かった積もり(昔からあるシャレです),
なんていうこともあるわけです.
そういうあたりを考えると,「分数ではないよ」と教えるのが無難なんでしょうかね.

> でも、2重積分では、安易に分母分子のように扱っていると間違いになるよう
> ですね.
そうです.
例えば,x,y から2次元の極座標 r,θに変換するとして
(1)  x = r cosθ
(2)  y = r sinθ
ですが,
(3)  dx dy = (dx/dr) (dy/dθ) dr dθ
と思って
(4)  dx/dr = cosθ
(5)  dy/dθ = r cosθ
を使うと
(6)  dx dy = r cos^2θ dr dθ
になります.
一方,
(3')  dx dy = (dx/dθ) (dy/dr) dr dθ
としても良さそうで,こうして
(4')  dx/dθ = -r sinθ
(5')  dy/dr = sinθ
とすると
(6')  dx dy = - r sin^2θ dr dθ
になってしまいます.
あれ(6)(6')が同じにならないよ,というわけで,
どうも重積分の時にあまり無神経にやるとまずそうだということは想像できます.

まあ,大体2変数ですから,dx/dr という書き方では困るわけで,
偏微分記号で ∂x/∂r と書かないといけません.
dx と∂x だから約分はまずいのではないかというようなことも言えますね.
偏微分に対して∂の記号を使うことによって,
記号的にも上のような議論はまずいということが形式的に表されていると
見ることもできるかも知れません.

多重積分の変数変換はいわゆるヤコビアンで表現できます.
ヤコビアンについては,KaitoTVGAMEKOZOU さんご紹介の
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=120492
で stomachman さんが触れておられます.

chukanshi さんの言われるとおりですので,少し蛇足を.

もともと微分係数は Δy/Δx の Δx→0 の極限でしたから,
もとの分数の形を残して dy/dx とライプニッツは書いたのでしょう.

高校では dx や dy は独立の量ではないと教えるのが普通ですが,
もう少し上のレベルになると dx や dy は独立の量として扱います.
そういう意味では,質問の
> 「dy は分子、dx は分母」
が復活したとも言えます.
ただし,極限操作が背景にあることはいつでも頭に入れておかなければなりません.

本来,「微分」とは dx や dy のことを言います.
微小変化分(微小増分)ということでしょう.
dy/dx は導関数,微分係数,微分商,などと言うのが本来の名前です.

y=f(x) の dx と dy の関係を dx の1次までで近似して
dy = A dx と書いたときの A がちょうど f'(x) になっていて
(1)  dy = f'(x) dx
の両辺を dx で割ったものが
(2)  dy/dx = f'(x)
です.
(1)はテーラー展開の第1項と見ることもできます.

こういうあたりが,chukanshi さんの言われるライプニッツの記号の威力です.

積分ももともとは
(3)  Σ {j=1~N} f(x_j) Δx,   Δx = (b-a)/N
の N→∞ の極限でしたから,積分に移行するときにΔx のところを
dx と書いて
(4)  ∫{a~b} f(x) dx
と書いているのです.

ニュートンの記号では dx に相当するものがありませんでした.
ライプニッツの記号ですと,dx のところを (dx/dt)dt と書き直して
置換積分の形がすぐ出てきます.

ただし,やはり限界はあるわけで余り無神経にやっていると間違った結果を
引き起こします.
例えば,2次元の積分で
(5)  ∬ g(x,y) dx dy
の変数を r,θに変換するときに
(6)  dx dy = (dx/dr) (dy/dθ) dr dθ
とやってしまってはいけません
割り算というなら(6)は良さそうですけれどね
(6)の間違いは理工系の大学1年生くらいではよく目にします.

この回答へのお礼

ありがとうございました。
高校レベルでは dy、dx を独立な量としてでは扱わなく、大学レベルでは
独立な量として扱うんですね。
…私としては、(極限操作が背景にあることはいつでも頭に入れておいて)
初めから独立な量として習ってもよいと思いますが。

高校では 、dy/dx の読み方が「ディーワイ・ディーエックス」ということ
を教わっただけで、「分数ではない」ということの詳しい説明はありません
でした。

とにかく、ライプニッツの表記法は便利な書き方だということがわかりました。
でも、2重積分では、安易に分母分子のように扱っていると間違いになるよう
ですね。

chukanshiさんのいわれているとおりですので、蛇足になりますが…
dy/dxは(d/dx)yとも書けます。すなわちyに「微分演算子」を作用させたもの
という見方です。
いずれにせよ、あくまで1個の記号であって、極限で定義された「作用」の結果です。
それと、積分の記号∫dxも1個の記号であって、dy/dxの分母だけつけた、というものではないので注意してください。

例えば、y=x+cと言う式があったとします。
cを定数として、xとは、任意に変わる変数
(表現が間違っているかもしれませんが)で、yは、xの関数です。
それなので、xが変わればyも変わります。
微分とは微小な変化をみるので、xを微小に動かす時(dxと表記)、
yも微小に動く(dy)と私は考えてました。

そして、y=x+z+cと言う式があったとします。
xもzも任意に変わる変数だとします。そして、yは、x、zの関数です。
そのときにdy/dxと書くと、
zは、無視して(本来は無視できなかったと思いますが、、忘れました。)
xが微小に動く時のyの変化を見ます。

それなので、そう言う表記として見て、
分数とはちょっと違うものと考えた方がいいと思いますよ。

>「xの微分」の考えを使えばdx=g'(t)dtとやることに抵抗はなくなると思います。
4で「Δx≒g'(t)Δt」とやりましたがこの式はΔxの近似式である。
「g'(t)Δt」をdxであらわし、これを「xの微分」という。
dx=g'(t)Δt……(1)
とくにx=g(t)=tのときを考え、(1)に代入すると、
dt=1*Δtになり、(1)に代入して、
dx=g'(t)dtを得る。……☆

とありますが、(1)からは、こうしてもよい。
dx=g'(t)Δt……(1)
ところで、tの微分はそれ自身だから、
Δt=dt …(2)
よって、
dx=g'(t)dtを得る。……☆

ずいぶん前に、これに近い質問がありましたので、載せておきます。回答の方で「微分」の解説をしているので、参考にしてください。

この回答へのお礼

ありがとうございました。早速、読んでみました。

こちらの説明では、すでに、dyとdxをそれぞれ1つの量として扱っています。
たぶん、大学レベルのご説明だと思います。

高校レベルでは、どう解釈すればよいのでしょうか。
「意味としては分数ではないのだけれど、扱い方は分数でよい」ということなので、私としては不思議な存在に思えるのですが、、、

No2の回答で
dy(x^2) = 2x dx

d (x^2) = 2x dx
の誤りです。
すみません。

この回答へのお礼

はい、わかりました。

直接の答えではないかもしれませんが、
私の今手元にある微分積分の本にこのような記述があります。


関数 y = f(x) のテイラー展開で、 n=2 とすると、h が十分小さい値ならば…
《中略》
増分Δx に対する関数 y = f(x) の増分Δy の主要部分は
 Δy = f(x+Δx)-f(x) ≒ f'(x)Δx
で与えられる。この主要部分を
 dy = f'(x)Δx
と書き、関数 y = f(x) の微分という。関数f(x) = x については f'(x) = 1 であるから
dx = Δx
である。したがって微分 dy は
dy = f'(x)dx
と表される。たとえば
 dy(x^2) = 2x dx, d log x = dx / x, d tan^-1 x = dx / (x^2+1)
である。
≪引用ここまで≫

もうしわけございませんが、私には意味がわからないので解説できません。
ご質問と関係あるのかどうかもわかりません。
(引用するにあたって、分数の横棒を / で表したり、累乗を ^ で表したりしています。また tan^-1 というのは、アークタンジェントというものらしいです。)

この回答へのお礼

 dy = f'(x) dx

と表記した段階で、dy/dx を分母・分子と考えていると思いますが、
どうなんでしょう。

微分の記号dy/dxは、ライプニッツが考えた記号です。それはどうでも良いことですが。なぜ、「dy は分子、dx は分母」と考えていけないか。
それは、微分や積分が「極限」の操作を含んでおり、dxやdyは「極限」の操作の意味を含んだ記号であって、ただの数ではないからです。
例えば、微分の定義を考えてみましょう。
lim(h→0)(f(x+h)-f(x))/h
でしたね。これを記号で書くと、df/dxとなります。明らかにlim(h→0)という極限の操作を含んでいますね。ですから、dxなどは、ただの数ではないので、分数の分子や分母と思ってはいけないです。
数学者からの立場からは、そういうことになります。

ただ、表現法からいうと、微分の記号をdy/dxなどとして、いかにも分数の計算をするように演算が表面上できるようになったのは、まさにライプニッツの直感による
この表記法に依存するところが大きいのです。ですから、本当は分数ではないのですが、「分数のような気分」で計算できるのです。ライプニッツは表記法の天才ですね。表記法ひとつで「分数の気分」で計算できるようになったのです。

同時に微分を発明したニュートンはxの微分をxの上に点(・)をつけることによって表現しました。これは随分計算がしにくいですね。

つまり、微分、積分は「極限」があってはじめて定義され、その「極限」の操作の部分の意味がdxやdyに含まれているため、dxなどをただの数として扱ってはならず、dy/dxはひとつの記号で、分数ではないのです。でも、この表記のおかげで、
「分数の気分」で計算はできるのです。

体裁や外面は分数ではないけれど、ノリは分数というところでしょうか。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

ホントは分数ではないけど、ライプニッツさんが考えた表記法
を使うと、分数の気分で(便利に)扱えるということですね。

私は、このことは重要なことだと思います。
しかし、教科書には書かれていないので、誤解していました。

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