和と差の応用

質問です。↓

１　ＡさんとＢさん２人が同じ金額を出し合って、ある品物を１００個買いましたが、ＡさんのほうがＢさんより１２個多く取ったので、ＡさんはＢさんに９６０円払いました。この品物１個の値段はいくらですか？
２　Ａ君、 Ｂ君、Ｃ君の３人が遊園地に遊びに行き、Ａ君は３人分の交通費、
Ｂ君は３人分の入場料、Ｃ君は３人分のジュース代をそれぞれ支払いました。その後、３人の支出を同じにするために、Ｂ君はＡ君に９０円、Ｃ君はＡ君に４２０円をそれぞれ支払いました。このとき、一人当たりに支出は全部でいくらですか。だたし、３人分の交通費は３人分の入場料のちょうど２倍でした。
３　何枚かの画用紙を生徒に配るのに、はじめの一人には１２枚、次の二人は１０枚ずつ、残りの人には５枚ずつ配ると１５枚残りました。そこで、あらためて生徒全員に７枚ずつ配ってみると４枚残りました。生徒全員の人数は何人ですか。また、紙の枚数は全部で何枚ですか。

No.6 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2002/04/08 18:14

やさしい問題に分割して考えるのがポイントです。

そのためには、問題を、別の言葉で整理して言い直してみることです。

１．「ＡさんとＢさん２人が同じ金額を出し合って、ある品物を１００個買いましたが、ＡさんのほうがＢさんより１２個多く取った」というのは、以下のように言い直すができます。

　まず１００個の品物をAさんとBさんが５０個ずつ受け取りました。
　それから、「Bさんが自分の品物を１個Aさんに渡して、その１個分の代金を貰う」という取引きをしました。

1-1) この取引きをした結果、Aさんの方がＢさんより幾つ多く品物を持っているでしょうか。

　さらに、同じ取引きを繰り返しました。
1-2) 「Aさんの方がＢさんより幾つ多く品物を持っているか」の答えは、取引きを１回するたびに何個ずつ増えていくでしょうか。
　取引きを繰り返した結果、「Aさんの方がＢさんより幾つ多く品物を持っているか」の答えが１２個になりました。
1-3) 取引きは、結局何回繰り返されたのでしょう？
1-4) BさんがAさんから受け取った代金は合わせて９６０円でした。取引き１回につき、Bさんは幾ら受け取ったのでしょう？
1-5) 品物１個の代金は幾らでしょう？


２．これも言い直すと、たとえば以下のようになります。
　Ａ君は３人分の交通費を払って、さらに９０＋４２０円を受け取りました。Ｂ君は３人分の入場料を払って、さらに９０円払いました。するとＡ君とＢ君が支払った金額は同じになりました。
　つまり３人分の交通費から９０＋４２０円を差し引いた金額は、３人分の入場料に９０円を加えた金額と同じです。

2-1) ３人分の交通費は、３人分の入場料より幾ら多かったでしょう？

　さて、３人分の交通費は、３人分の入場料の丁度２倍でした。
2-2) ３人分の入場料は幾らでしょう？　ひとり分の入場料は幾らでしょう？
2-3) ３人分の交通費は幾らでしょう？　ひとり分の交通費は幾らでしょう？

さて、Ｃ君は３人分のジュース代を払って、さらに４２０円払うと、丁度ひとり分の（交通費＋入場料＋ジュース代）の合計を払ったのと同じ支出になりました。ですから、Ａ君とＢ君の分のジュース代を合わせると、Ｃ君の分の（交通費＋入場料）よりも４２０円少なかったことになります。

2-4) Ａ君とＢ君の分のジュース代を合わせると幾らでしょう？　ひとり分のジュース代は幾らでしょう？
2-6) ひとり分の（交通費＋入場料＋ジュース代）は幾らでしょう？


３．これまた、話を整理することができます。
　まず画用紙を生徒に配るのに、生徒全員に５枚ずつ配りました。
　さらに生徒のうちのAさんに追加７枚、Ｂさんに追加５枚、Ｃさんに追加５枚を渡したところ、まだ１５枚残りました。
3-1) 生徒全員に５枚ずつ配ったら、何枚残るのでしょう？

　さて、画用紙を生徒全員に５枚ずつ配りました。それで残った画用紙を、生徒全員に２枚ずつ配ったら、まだ４枚残りました。
3-2)生徒全員に２枚ずつ配るのに、何枚の画用紙が要りましたか？
3-3)生徒は何人いますか？
　生徒全員が7枚ずつ画用紙を貰って、まだ４枚の画用紙が余ったのです。
3-4)画用紙は何枚ありますか？

No.5 回答者： hinebot 回答日時： 2002/04/08 12:43

何度も済みません。

#4で、Ａ１について１つ書き忘れました。
>９６０÷６＝１６０　　　１６０円です。
とされてますが、式としては
９６０×２÷１２＝１６０
の方が、図と合って判りやすいと思います。（同じことと言えばそれまでですが）

No.4 回答者： hinebot 回答日時： 2002/04/08 12:37

tomikou0000さんへ

>６個分の金額が９６０円です。
>よって、１個分の値段は
>９６０÷６＝１６０　　　１６０円です。

そうですね。ご指摘ありがとうございます。ちょっと勘違いが入ってました。
　　 イ　　　　　　　　ロ　　　ハ
Aさん├────────┼───┤

　　 ニ　　　　ホ　　　ヘ
Bさん├────┼───┤

上図で、ロ＝ヘが同じ金額出し合った額で、ホ～ハが12個（ホ～ヘ、ロ～ハが6個）分で、ホ～ヘ（ロ～ハ）が960円ですね。ホ～ハが960円と勘違いしてしまいました。

Ａ３．（別解）
これも棒図を書くと判りやすいですね。
　　　ａ　ｂ　ｃ　ｄ　　　　　　　　　　ｅ　　ｆ
　最初├─┼─┼─┼──────────┼──┤
ａ～ｂが12枚、ｂ～ｃ、ｃ～ｄが10枚、ｄ～ｅが（5枚ずつ）×（残りの人数）
ｅ～ｆが15枚です。
　　　ｇ　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｈｉ
２回目├──────────────────┼┤
ｇ～ｈが（7枚ずつ）×（生徒の人数）、ｈ～ｉが4枚です。

この図を少し変えます。
まず、最初の図の順番を変えます。
　　　ａ　　　　　　　　　　b'　c'　d'　ｅ　　ｆ
　最初├──────────┼─┼─┼─┼──┤
ａ～b'が（5枚ずつ）×（残りの人数）、ｂ'～ｃ'が12枚、ｃ'～ｄ',ｄ'～ｅが10枚、ｅ～ｆが15枚です。
2回目の図に対し、上図のb'と同じ位置にg'を取ります。
　　　ｇ　　　　　　　　　　g'　　　　　　　ｈｉ
２回目├──────────┼───────┼┤
するとg～g'＝a～b'＝（5枚ずつ）×（残りの人数）です。
g'～ｈを考えると、これは(7枚ずつ)×（生徒の人数）と（5枚ずつ）×（残りの人数）の差になります。
（残りの人数）については、最初より７－５＝２枚ずつ多く貰っていますから、最初の3人分と合わせて
g'～ｈ＝(2枚ずつ）×（残りの人数）＋（7枚ずつ）×3　となります。
b'～ｆ＝g'～ｉですから、
12＋10×2＋15 ＝2×（残りの人数）＋7×3＋４ すなわち、47＝2×（残りの人数）＋25となり、
（残りの人数）＝11　となります。
後は、#1で示した答えと同じです。

No.3 回答者： tomikou0000 回答日時： 2002/04/08 12:00

hinebotさん、１はそれでは間違いですよ。

「１２個多い」のとらえ方がポイント！
「ＢさんよりＡさんが」ですから、単純にＡさんに１２足しては間違いです。
１２ですから、半分の６が、Ｂさんから引かれてＡさんに足されるんです。
だから、Aさん５６個、Bさん４４個です。
Bさんは５０個分の金額を払って960円戻ってくるのですから、
６個分の金額が９６０円です。
よって、１個分の値段は
　９６０÷６＝１６０　　　１６０円です。

No.2 回答者： hinebot 回答日時： 2002/04/08 11:23

#1です。

Ａ２の図ですが、等幅フォントで見て欲しいのですが、念のため補足しておきます。
ア、エ、キは左端（├）の部分
イ、オ、クは途中（┼）の部分
ウ、カ、ケは右端（┤）の部分
を指してます。

No.1 回答者： hinebot 回答日時： 2002/04/08 11:18

Ａ１．

難しく考える必要はありません。
>ＡさんのほうがＢさんより１２個多く取ったので、ＡさんはＢさんに９６０円払いました。
ですから、この960円が品物12個分の値段です。
よって1個の値段は　960÷12 = 80 　となります。
答.　80円

Ａ２.
これは、棒図を書くと判りやすいですよ。
棒図というのは、
├───────┼────┤
こんな感じの図のことです。見たことありませんか？
A君、B君、C君の支出額について考えます。（等幅フォントで見てください）

ア　　　　　　　イ　　　　ウ
├───────┼────┤　　　A君

エ　　　　　オ　カ
├─────┼─┤　　　　　　　　B君

キ　　ク　　　　ケ
├──┼────┤　　　　　　　　C君

こんな図が書けます。最終的な支出額（同じにした額）は、イ＝カ＝ケ　の位置です。
A君の支出額（交通費）がウの位置
B君の支出額（入場料）がオの位置
C君の支出額（ジュース代）がクの位置
です。「３人分の交通費は３人分の入場料のちょうど２倍でした。」ということなので、ア～ウはエ～オの2倍になります。
「Ｂ君はＡ君に９０円、Ｃ君はＡ君に４２０円をそれぞれ支払いました。」を図に当てはめると、
オ～カが90円、ク～ケが420円、イ～ウが90＋420＝510円になります。
すると、エ～オとオ～ウ（オ～カ＋イ～ウ）が同じになりますから、
B君の元の支出額が　90＋510＝600円　とわかります。
1人当たりの支出（イ＝カ＝ケ　の位置）は　600＋90＝690円　になります。
これが答えですが、折角なので、A君とC君の元の支出額も出して検算しておきましょう。
A君の元の支出額はB君の元の支出額の2倍なので、
600×２＝1200円
C君の元の支出額は、1人当たりの支出額より420円少ないので
690－420＝270円
となります。
精算後の金額は
A君　1200－（90＋420）＝690円
B君　600＋90＝690円
C君　270＋420＝690円
でピッタシです。
答．一人あたりの支出は　690円

Ａ３．
紙の枚数は
「はじめの一人には１２枚、次の二人は１０枚ずつ、残りの人には５枚ずつ配ると１５枚残りました。」から、
12＋10×2＋5×（残りの人数）＋15＝5×（残りの人数）＋47
と表せます。
「あらためて生徒全員に７枚ずつ配ってみると４枚残りました。」ということなので、残った4枚を先に引いてしまいます。
5×（残りの人数）＋47 －4 ＝　5×（残りの人数）＋43
これが 7×（生徒の人数）に等しいわけです。
生徒の人数　＝　3＋残りの人数　ですから
5×（残りの人数）＋43　＝ 7×｛3＋(残りの人数)}　＝　21＋ 7×(残りの人数)
整理すると
２×(残りの人数)　＝ 22
となるので、残りの人数　＝　11
よって　生徒全員の人数　＝11＋3　＝14
紙の枚数　＝　7×14＋4　＝102
検算すると 12+10×2+5×11+15 = 102 でピッタシです。
答．生徒全員の人数　14人、紙の枚数　102枚

です。