積分と複素数平面

１．∫{x,0}(x-t)f(t)dt=x^4-x^2
(上がx下が0)
を満たす整式f(t)を求めよ。
２．平面上の点A(a,a-1)から放物線y=x^2に引いた２つの接線の接点をP,Qとする。
直線PQと放物線y=x^2とで囲まれた部分の面積SとAが直線y=x-1上を動くときのSの最小値を求めよ。
３．複素数平面上においてzは原点Oの中心とする半径１の円周上を動くとする。
w=(z-i)/(z-1-i)とおくとき　　　　　　　(虚数単位i)
wの描く曲線と絶対値|w|の最大値およびそのときのzの値を求めよ。

一応こたえつきなのですが理解できないので・・・
詳しくお願いします

No.1 回答者： foolish 回答日時： 2002/04/10 15:43

（１）tで微分する

（２）面積をaで表す
（３）w=(z-i)/(z-1-i)をzについてとき、そのあと|z-1|=0に代入
わからんかったらメールでどうぞ
近くだったらあって教えてもいいけどね

この回答への補足

上でも書きましたが答えはついているので
方法はわかるんですけど、
模範解答の方法では理解できないので
解いた回答をみたいのですが・・・

補足日時：2002/04/10 18:16

No.2 回答者： KaitoTVGAMEKOZOU 回答日時： 2002/04/10 19:09

（１）は一通り勉強しているならば、解けないとやばい。

（２）はちょっとやってみないとわからんが、いくつかの基本が出来ていればなんとかなるでしょう。
アドバイスとしては、「計算は上手くやること」。１／６公式を知らなくても、変数変換でいくらでも簡単に解けるから。最後に、「Ａがy=x-1上を動くとき」というのは、Ａ＝任意＝すべてのａについてということ。問題を解いてないので詳細はわからんが、面積Ｓ＝f(ａ)であらわせられるんだろう。で、ａが任意の実数のときＳの最小値を求めなさいということ。
（３）は、逆の対応の考え方でやる。大学への数学では、「逆手流」という名前で紹介されている。

w=(z-i)/(z-1-i)から、　　　　　　(虚数単位i)
この式から、ｚがひとつ決まると（存在すると）、ｗも一つ決まる（存在する）関係にあることがわかる。
ということは、ｗが存在するには、ｚが存在しなくてはならないことも自明。

ｗ＝ｆ（ｚ）の式の形で、ｚを動かして、ｗの値の範囲を考えるのも一つの方法だ。この問題の場合、ｚ＝cosθ＋ｉsinθとして、ｗ＝g(θ)を導き、θを０≦θ≦π／２の範囲をくまなく調べ尽くせばよい。
しかし、ｚが複素数の場合、複素数のままで解いた方が楽な場合がある。そこで、ｚ＝ｆ^-1（ｗ）を導き、「zは原点Oを中心とする半径１の円周上を動く」＝｜ｚ－（０）｜＝１⇔｜ｚ｜＝１ （ＮＯ１の方は勘違いされいるぞ）というｚの存在条件に乗せてやればよい。つまり、この場合、


｜ｆ^-1（ｗ）｜＝１

この式から、｜ｗ｜を取り出して整理すれば、ｗがどんな図形かわかるではないか。

それでは、お礼に答えを書いてくれ。

No.3 回答者： may-may-jp 回答日時： 2002/04/17 14:38

1）関数が二つかけてあるときの積分の公式があったはずです。

まずはそれをやってみてください。右辺はとりあえず忘れて、左辺だけの式変形をとりあえずやってみてください。

2）まず図を描いてください。最初は接線P、Qの式を求めるところからです。面積SはP、Qの式を使った積分で出てきます。
後半は、最小値と言えば微分ですね。

3）ｗが必ず通る点があったはず。必ず図が描けるはずです。また、偏角などを駆使して求める問題だったと思います。

数学はまずやってみることですよ。