2次関数

高校数学の問題です。

2x^2-3(a+2)x-(2a^2-17a+8)=0(aは定数)
xが異なる自然数の解を持つときのaの値と解を求めよ。

というものなのですがとき方がわかりません。解は(3)^1/2のようなのですがそれで解いても自然数の解になりません。自然数でも整数にはならないのです。

解を2個もつということ、解が自然数になることなどからaの範囲を絞ってみているのですが・・・。

どのように解いていけばよいのでしょうか？

よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： postro 回答日時： 2006/11/06 09:57

まず問題の方程式を因数分解します。

（たすきがけの上級者向けかな？）
2x^2-3(a+2)x-(2a^2-17a+8)=0(aは定数)から
2x^2-3(a+2)x-(2a-1)(a-8)=0
{x-(2a-1)}{2x+(a-8)}=0
よって解は、x=2a-1 ,4- a/2
この二つの解が異なる自然数になればよい
0も自然数と考えればa=2,4,6,8
0を自然数でないとするとa=2,4,6
だけど、a=2のときは二つの解が同じ「３」になってしまうからこれは不適

＞解は(3)^1/2のようなのですが
↑これは何かの間違いかも？

No.5 回答者： take_5 回答日時： 2006/11/06 10:52

先ず、aが整数になる事の証明が必要じゃないですか？

No.3 回答者： ccyuki 回答日時： 2006/11/06 09:56

ふたつの解を　α，βとすると

解と係数の関係から　α+β＝3(a+2)/2
　　α，βは　自然数だから　α+β≧2　3(a+2)/2≧2
　　よって　a≧-2/3　　
自然数をふたつ足したものも自然数だからaは０以上の偶数とわかる
さらに　解と係数の関係から　α+β＝-(2a^2-17a+8)>0
　　2a^2-17a+8<0　　(2a-1)(a-8)<0　よって　1/2<a<8
これらから可能性のあるのは　a=2，4，6
代入して調べてみると
　a=4のとき　x=2，7　と　a=6のとき　x=1，11　

No.2 回答者： himajin100000 回答日時： 2006/11/06 09:50

>よってaの候補は

訂正:A,B,Cよりaの候補は


>よりx = 2,7で題意を満たす

最後の一文を消し忘れた

No.1 回答者： himajin100000 回答日時： 2006/11/06 09:49

解答がおかしい。

2x^2-3(a+2)x-(2a^2-17a+8)=0
たすきがけすると
2x^2-3(a+2)x-(2a-1)(a-8)=0

さらにこれをたすきがけすると
{2x + (a-8)}{x-(2a-1) } = 0

であり

x = (a-8)/2,2a-1

という解を持つ。

題意よりこの2解は異なるから

2a - 1 = -(a-8)/2
4a - 2 = - a + 8
5a = 10
a = 2

であってはならない。よってa ≠ 2・・・・A

また、xは自然数だから
2a - 1 >0 ⇔ a > 1/2
-(a-8)/2 > 0 ⇔ a < 8
を満たす。つまり 1/2<a<8・・・・・B

さらに
(a-8)/2 が整数であることから
aは偶数でなければならない。・・・・C

よってaの候補は
a = 4とa = 6が考えられる。

a = 4の時
2x^2 - 3(4+2)x - (2・4^2-17・4+8) = 0
2x^2 - 18x + 28 = 0
x^2 - 9x + 14 = 0
(x - 2)(x - 7) = 0

よりx = 2,7で題意を満たす

a = 6の時
2x^2 - 3(6+2)x - (2・6^2-17・6+8) = 0
2x^2 - 24x + 22 = 0
x^2 - 12x + 11 = 0
(x -1 )(x -11 ) = 0

x = 1,11でやはり題意を満たす。

よって
a = 4の時x = 2,7
a = 6の時x = 1,11

が答えです


よりx = 2,7で題意を満たす