常用対数の値

Question

例えば常用対数　log2=0.3010　となりますが、なぜ0.3010という値が導きだされたのかが分かりません。高校数学の教科書の巻末には、常用対数表が掲載されていますが、それぞれの常用対数の値は、いかなるプロセスで求められるのか？そのプロセスは、高校数学の範疇を超えて、大学数学を理解していないと分からないのか？どなたかご存知の方、教えて下さい。よろしくお願い致します。

liar_adan · Accepted Answer

テーラー展開以外にも、級数展開の方法はあります。
たとえば、参考URLの「Series for calculating the natural logarithm」
の2番目にある式などが利用できます。
こういう公式を発見するのは、高等な微分積分学の範囲ですが、
式を利用することは簡単です。

たとえば、2の常用対数を求めたい場合を考えます。
まず自然対数を計算します。
先の公式で行くと、
ln 2 = 2*{(1/1)*(1/3)^1 + (1/3)*(1/3)^3 + (1/5)*(1/3)^5 + (1/7)*(1/3)^7 + ...}
のように計算できます。
正確に計算するためには、無限項を計算しなければいけないので不可能ですが、
数項も計算するとだいぶ正確な値が出てきます。
必要な精度になる項まで計算してやります。

こうすると、0.639....という値が出てきます。
しかしこれは常用対数なので、対数の底の変換の式を使って、
同様に計算した ln 10 で割ってやります。
そうするとlog2が計算できます。

参考URL：http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm

totoro7683 · Answer

まだ出てきていない方法では
積分を使うということも出来ます。
∫(1/x)dx=ln xとなるから
∫[1,2](1/x)dx=ln 2 です。
ここで左辺の積分をシンプソンの公式を使って
近似値を求めてやります。
区間[1,2]を１０等分すると値0.6937714035が求まり
区間[1,2]を１００等分すると値0.6931534305が求まります。
真の値はln 2=0.6931471806なのでなかなかいい近似でしょう。
同じ方法でln 10 を求めてやると
log 2 の近似値が求まります。

tatsumi01 · Answer

2^10 = 1024 > 1000
ですから両辺の対数を取ると
10 log2 > 3
log 2 > 0.3
が出ます。しかも、1024 は 1000 より僅かに大きいので、log 2 も 0.3 より僅かに大きいだろうと見当がつきます。微分を使った近似公式を使うと 0.301 くらいまでは出ます。

しかし、このようなその場限りの方法では正確な値を出すのは困難です。皆さんのお答えのように、テーラー展開などを使って計算しますが、高校数学の範囲では無理でしょう。

springside · Answer

普通、テーラー展開して、logを普通の多項式に近似して計算します。
詳しくは、「テーラー展開」というキーワードでネットを検索してみてください。

ryou-ryou-ryou · Answer

10の0.3010・・・・乗が2ということ。
どうやって出したかと言うと、
10の0乗は1
10の1乗は10
1と10の間に2があるから、log2は0と1の間

10の0乗は1
10の0.5乗は3.162・・・・・
1と3.162の間に2があるから、log2は0と0.5の間
　
こういうふうにして出します。

常用対数の値

テーラー展開以外にも、級数展開の方法はあります。

まだ出てきていない方法では

2^10 = 1024 > 1000

普通、テーラー展開して、logを普通の多項式に近似して計算します。

10の0.3010・・・・乗が2ということ。

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