「3sin(2x) を [-π,π]でフーリエ展開しなさい。」という問題があったのですが、
∞
フーリエ級数 (1/2)*a_0 + Σ[ a_n*cos(nx) + b_n*sin(nx) ]
n = 1
のa_0 とa_n と b_n について、
π
a_0 =∫3sin(2x) = 0
-π
π
a_n =∫3sin(2x)cos(nx) = 0 (3sin(2x)cos(nx)は偶関数だから0)
-π
と、ここまでだしたのですが、どうしても次の、
π
b_n =∫3sin(2x)sin(nx) = 0
-π
を求めることができません。このb_nの求め方を教えてください。
そもそもこれはフーリエ級数で表すことができるのでしょうか?
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
nが2でないとき
sin(2x)sin(nx)={cos((2-n)x) - cos((2+n)x)}/2
のように三角関数どうしの積を和に直せばb_nが求まります。
nが2のときはb_nは0になりません。
π
>b_n= ∫3sin(2x)sin(nx)dx=0
-π
フーリエ係数は周期の半分(今はπ)で割るのが正しいです。
π
b_n=(1/π)∫3sin(2x)sin(nx)dx=0
-π
>そもそもこれはフーリエ級数で表すことができるのでしょうか?
a_n=0,n=2以外でb_n=0なので結局フーリエ級数の項は3sin(2x)しか
のこらなくなりますね。私も勉強不足でわかりません。
すばやい解答ありがとうございます!
なるほど、n=2のときは0にならないということを
見落としていました。
結局3sin(2x)のようなものを[-π,π]でフーリエ展開しても
3sin(2x)としかでてこないみたいですね。
ほかのフーリエ展開の問題にはきちんと解説がのっていて、
この問題には、
答えのところに3sin(2x)としかのっていなかったので
aomoさんの説明でやっとその意味が理解できました。
ありがとうございます!
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