sinθ≒θ？

SINθ≒COSθを満たす振り子の最大ゆれ角θを求め、
振り子の長さを１mとして、そのときの
振れ幅を計算してみよ

という課題があるのですが、
「SINθ≒COSθ」のところからよくわかりません。
どなたか教えてもらえないでしょうか

No.1 ベストアンサー 回答者： matchaman 回答日時： 2006/11/23 11:20

物理というよりは数学だと思います。

SINθ＝COSθを満たすθはθ＝４５°ですね。つまりSINθ≒COSθを満たす振り子というのは最大ゆれ角約θ≒４５°の振り子ということです。御存知とは思いますが念のために≒は約とかおよそという意味です。

長さが１ｍなので振れ幅は三角比より計算され、振れ幅＝１ｍ×sinθとなります。

この回答への補足

お答えありがとうございます。
ですが、問題を間違えていました。
SINθ≒COSθではなく、正しくは
SINθ≒θ　をみたすθをもとめよ
でした。本当にすみません。この解を
おしえてもらえないでしょうか

補足日時：2006/11/23 21:44

No.2 回答者： cabinessence 回答日時： 2006/11/23 23:41

この意味は、θが非常に小さいとき、sinθをθで近似できるという意味です。

この回答への補足

では具体的に
θはどれくらいの値になるのでしょうか

補足日時：2006/11/24 16:47

No.3 回答者： uvwxyz 回答日時： 2006/11/24 01:39

物理の問題として成立してないと思います。

まずは問題を丸写しすることをお勧めします。

この回答への補足

すいません　問題に間違いがありました。
ただしくは下のようになります


SINθ≒θを満たす振り子の最大ゆれ角θを求め、
振り子の長さを１mとして、そのときの
振れ幅を計算してみよ

よろしければ教えていただけないでしょうか

補足日時：2006/11/24 16:47

No.4 回答者： masudaya 回答日時： 2006/11/24 20:41

>では具体的に

>θはどれくらいの値になるのでしょうか

コレくらい計算できませんか？
sinθのマクローリン展開をしてみると
sinθ＝θー１／３！＊θ＾３＋１／５！＊θ＾５ー...
となり,θが１より小さければ,θの高次の項は小さいので,
sinθ≒θ
と出来ます.どれくらいの値かは,どの程度の精度が必要かによってかわりますので,ご自身で計算されることをすすめます.(Excelにもsinくらいありますのですぐ出来ると思いますが)

この回答への補足

エクセルの関数は一部しかわからないのですが、
よろしければ教えていただけないでしょうか

補足日時：2006/11/26 10:21

No.5 回答者： leo-ultra 回答日時： 2006/11/24 20:55

「SINθ≒θを満たす振り子の最大ゆれ角θを求め、

振り子の長さを１mとして、そのときの
振れ幅を計算してみよ」

どのくらいの精度でSINθ≒θが成立する場合なのかが指定されないと物理の問題として成立しません。

これは授業の問題ですか？　それならば授業のときに精度が指定されたのではないですか？

それとも問題集の問題ならば、例題かなにかで精度が指定されていると思います。

この回答への補足

問題集ではなく
振り子の周期と長さから
重力加速度を求める実験の
考察の一部で有効数字は４桁でした

補足日時：2006/11/26 09:45

No.6 回答者： matchaman 回答日時： 2006/11/25 17:44

θ≒０においてsinθ≒θ、つまりsinθとθはθ≒０において非常に近い値を取ります。

詳しく言うと、＃４のようにsinθをθ＝０の周りでマクローリン展開すると＃４の式のような無限の項数の近似式になります。無限に続く項をどこまでも計算するのは現実には必要無いのでどこかで切るのですが、θの次数をどこまで取るかは、θの値と許される精度で決まります。ゼロに非常に近い値ならば少ない項数で高い精度を達成出来ます。ゼロから遠ければ逆ですね。また、必要な精度が高いなら、項数は多く必要です。必要精度が低いなら少なくてもOKです。

問題を別な言葉で言うと「有効数字○○桁でsinθ≒θが成立するには、θは何度以下である必要があるか？」と言ってるのと同じです。だから問題のようにθの実際の大きさを求めよと言われたら、必要な精度の値が要ります。有効数字２桁までとか。それが条件として提示されればsinθとθを比べて、２桁まで等しいためにはθ＜0.1(rad)とか、計算出来るのです。

この式は有名です。と言っても最近は電卓で何でもキッチリ数値計算出来てしまうので数値計算ではあまり使いません。sinが入ってると複雑で解析的に計算出来ない場合に、簡略化として使うことがあります。

この回答への補足

質問に不備がありすみません。
有効数字は４桁でした。

補足日時：2006/11/26 09:47

No.7 回答者： matchaman 回答日時： 2006/11/26 11:48

御存知とは思いますが、宿題等の質問では自分の考えを書くルールになってます。

これだけの回答が付いてるのですから、回答を元に自分なりに考えた結果を書くべきです。

No.8 回答者： masudaya 回答日時： 2006/11/27 09:15

Excelで比較する場合

"x"と"=sin(x)"
を比較ください.xは度ではなくラジアン(または弧度法)
ですので注意ください.度とラジアンの変換は
ラジアン=π＊度/180
となります.後はご自身で

No.9 回答者： ht1914 回答日時： 2006/11/29 11:45

計算は自分でやってもらうとして補足です。

ｓｉｎのグラフはどこでも出てきます。見たことも書いたこともあると思います。原点付近でほぼ直線になっています。角度をラジアンで表したとき、この直線の勾配が１だということです。
振幅が小さいときの振り子の運動は単振動であるというのはこの結果を用いています。