f(2x)=2f(x) の両辺を微分すると 2f'(2x)=2f'(x) となることの証明

質問

f(2x)=2f(x) の両辺を微分すると 2f'(2x)=2f'(x) となることの証明

役に立った：4件

質問者：okwave1988
投稿日時：2006/12/01 11:11
困り度：

f(2x)=2f(x) の両辺を微分するとどうなるか？
答えは 2f'(2x)=2f'(x) でした。なんとなくそうなることは
わかります。でも証明ができません。具体例を作って実験して
成功しても、成功例がひとつあることは証明にはなりませんよね？
どうやったら証明、あるいは納得できるでしょうか？

この質問への回答は締め切られました。

回答(4件)

No.4

回答者：usatan2
回答日時：2006/12/02 09:21

f(2x)=2f(x) を
f(2x) - 2f(x) = 0
という方程式だと思って、微分したらどうですか？

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この回答へのお礼

なんだかすごく難しくなったような気がします。
たぶんそれができるのはこの問題を理解できる
以上の人のようなきがします・・・
回答ありがとうございました。

> f(2x)=2f(x)
この式の意味をどう理解していますか。微分するといっている以上 f は関数ですね。

しかし、f が任意の関数だったら上式は成立しません。"f(x)=3x+5" でも何でも良いけれど、成立しない関数が大半でしょう。

つまり、"f(2x)=2f(x)" はある制限を満たす関数を定義したことになっています。そのような関数では "2f'(2x)=2f'(x)" が成立するのです。左辺の微分は皆さんが示されている通りです。

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この回答へのお礼

基礎的だけどすごく重要なことをおっしゃっているような
気がします。でもなんか理解できないというか届かない感じです。
こういう日本語苦手です・・・
もう少しでわかりそうなんですけれども。
回答ありがとうございました。

No.2ベストアンサー20pt

回答者：tarame
回答日時：2006/12/01 14:43

導関数の定義式から
f(2x)の導関数
＝lim[h→0]{f(2(x+h))-f(2x)}/h
＝lim[h→0]{f(2x+2h)-f(2x)}/h
＝lim[h→0] 2{f(2x+2h)-f(2x)}/2h
（2h＝k とおくと）
＝lim[k→0] 2{f(2x+k)-f(2x)}/k
＝2f ' (2x)

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