そもそも4次元って？

どういった定義なのでしょうか。
1～3次元はイメージつきますが、
4次元はいまいちイメージがつきません。
くだらない質問で申し訳御座いません。

No.13 ベストアンサー 回答者： apple-man 回答日時： 2006/12/28 03:05

>ただ、他の回答者様が言われている4次元の影が3次元っていうのがイメージできません。

見たことないわけですから、イメージできなくて当然です。
（天才数学者ならイメージできているのかもしれませんが）

＞3次元の影は2次元っていうのはイメージできます。
微分すれば次元が1つおちるということでしょうが、
　
　微分とは違うと思います。微分した結果がその図形や
関数の影にはなっていないからです。
　
　イメージはできないので、理屈で考えるしかなくなり
ますが、図形の断面を見るという行為が、次元を
落としてみることになります。（他の方の回答にもありますが）

　切り方にもよりますが、球（３次元）の断面は、円（２次元）、
円を切断すると線（１次元）、線を切ると点（０次元）に
なります。
　ここで言っている次元というのは、その図形上の１点を
示すのに最低限必要な★直行ベクトルの数を言って
います。
　円は互いに直行する、Ｘ，Ｙといった直行ベクトル
の座標（いわゆるＸＹ座標）上に表すことができます。
　球も同様に、互いに直行するＸ，Ｙ、Ｚの３つベクトル
で表現できる空間に描くことができます。

　円も球も、特定の中心から一定の距離（半径）内に
点が集まった集合で、この条件で４次元空間に
図形を書けば、４次元（超）球体になります。

　何がイメージするのに難しいかと言うと、
まず互いに直行するＸ，Ｙ、Ｚ，Ｗといった
４つの直行座標が、直感的に描けないことです。

　描けなくても、数学的には定義できます。
ＸＹＺＷの４つのベクトルは、一次独立、
内積がゼロだとすればいいんです。

　単純に微分と違うところは、積分といった数学的に反対の行為で
もとの図形が復元できないところです。

　断面が円だと言っても、それは球の断面かも
しれないし、円柱の断面かもしれないんです。

　このような問題は、実際の物理学の問題でも起きていて、
例えば電子という粒子（球体）は、もっと高い次元から
見たときでも、球体なのだろうか？というものがあり、
それに対して現代物理学では、３次元で粒子として
観測されているものは、もっと高い次元に存在する
ヒモの断面かもしれないとしています。
これを超弦理論と言います。

　一応高校の数学の範囲で答えたつもりですが、
ベクトルや内積が分からないと意味不明な説明に
なっているかと思います。

　
　


　

No.12 回答者： purunu 回答日時： 2006/12/27 01:06

天文や物理からは離れます。

「Aさんはリンゴを２個買った、Bさんはリンゴを３個買った」というのを、棒状に表して、
（A)・－→・　　（B)・－－→・
としたものが、「リンゴ軸」の１次元ベクトルです。こんどは、
「Aさんはミカンを３個買った、Bさんはミカンを２個買った」というのを表すとしたら、別なミカン軸をたてて、前のリンゴ軸とともに、
　　　　・　　　
　　　　↑　　　　　　　　・
　　　　｜　　　　　　　　↑
　　　　｜　　　　　　　　｜
(A)・→→　　　（B)・－－→
【フォントの幅で図が正しくないですが、ごようしゃください】
これが、（リンゴ軸、ミカン軸）の２次元空間におけるベクトル(2,3)とベクトル(3,2)の意味と、図形的表現です。
品物が４つあって、（リンゴ軸、ミカン軸、ナシ軸、カキ軸）になったら４次元ですね。スーパーで1000種類の品物を売っていたとすると、、ある人の消費行動は1000次元のベクトルで表されます。
　これが、No.11の方の最初に言った、数学的表現の簡単な（？）意味あいです。

　「影」というのは、ようするにある次元を考えないこと、無視することです。Aさんの消費パターン(2,3)とBさんの消費パターン(3,2)で、２要素でなくあくまでリンゴ要素だけをもとめると、(2)、(3)です。これが「ミカン軸を無視してリンゴ軸に影をおとしたもの」です。
、（リンゴ軸、ミカン軸、ナシ軸、カキ軸）の消費パターンで、カキ軸を落とした、（リンゴ、ミカン、ナシ）の消費だけを見る、というのがその例ですね。

No.11 回答者： apple-man 回答日時： 2006/12/24 04:00

次元と言った場合、１つの量を定義するための

媒介変数の数のことなので、空間以外の話にも
いろいろ出てきます。

＞後、ドラえもんでは4次元空間って言ってますからあくまでm^4ですよね？

　ドラえもんの４次元というのは、縦横高さと時間の４方向です。
正確に言うと、タイムトンネルに入るまでもなく、
我々の住んでいる世界が４次元空間なんです。
　人間には、３次元までは目で直接とらえることが
できますが、４次元目の方向を直接確認できる
感覚器官がないんです。

　人間の目は、光しかとらえることができず、
この光が４次元目の時間という方向を自由に
行き来できないためです。

　４つ目の方向が存在しているだろうと考えられはじめたのは、
１９世紀のことでした。小学校でもやる砂鉄の実験の
ように、磁石の力により、砂鉄に模様ができる様子から、
これを砂鉄が動いたと考えず、磁石の力で砂鉄の存在する空間に
ひずみが生じたのではないかと考えた学者が沢山いたんです。
　数学者リーマンが、空間のひずみを表現するリーマン幾何学を
完成させましたが、空間のひずみは観測されず、実際の物理
現象の説明にはうまく使えませんでした。
　我々に見えている３次元空間にひずみがあれば、
例えば三角形の内角の和は１８０°にならないため、
数学者ガウスなどは、巨大な三角形を作ってその
内角を測定したと言われています。
　
　２０世紀のはじめ、アンシュタインが重力を
空間のひずみで表現しようとして
このリーマン幾何学を使ったのですが、このとき
時間も空間の１つの方向であると言う仮定のもとに
相対性理論を完成させ、その理論どおり、時間の
遅れが観測されたんです。
　
　目では直接とらえられませんが、時間も空間の１つの方向だと
考えると、実際の物理現象の説明がつくというところが
これまでの結果で、実際にそれを見た人はいないわけです。
　時間方向を見るということは、過去と未来を同時に
見られるということですから。そのため厳密にはこの
時空という考えを覆せる余地はあるということです（笑）。

　時間も１つの方向なら、移動もできるだろうというのが
タイムマシンの考え方ですが、移動ができなくても
時間方向の存在を否定できる証拠はいまのところないので、
我々の住んでいる世界が４次元空間なんです。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
大分結論が見えてきました。
あくまで時間軸を空間軸としてイメージするということなんですよね。

ただ、他の回答者様が言われている4次元の影が3次元っていうのがイメージできません。
3次元の影は2次元っていうのはイメージできます。
微分すれば次元が1つおちるということでしょうが、m^3・tをmで微分すれば次元はm^2・sになりますよね？これは平面のものを色んな時間から観測できるということにならないのでしょうか？

素人考えで勝手な質問で申し訳ございません。

お礼日時：2006/12/26 08:55

No.10 回答者： noname#26663 回答日時： 2006/12/23 23:31

＞そもそも4次元ってどういった定義なのでしょうか。

こいつが美しく説明出来るとか言い出したから。＾○＾
（最後の頃。）

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9F%E3%83%B3% …

No.9 回答者： greenhouseeffect 回答日時： 2006/12/21 12:55

３つの空間軸に時間軸を加えたものが４次元という考え方には疑問があります。

例えば１本の空間軸に時間軸を加えたものを２次元と表現するでしょうか？
例えば２本の空間軸に時間軸を加えたものを３次元と表現するでしょうか？

時間軸を加えたものはあくまで「時空間」であり、空間とは分けて考えたほうがよいかと思います。特に、空間軸と時間軸では可逆性・不可逆性という面で大きな違いがあります。

この回答へのお礼

皆様ご解答ありがとうございます。
今週は時間がないため来週改めてお礼を書かせて頂きます。

＞３つの空間軸に時間軸を加えたものが４次元という考え方には疑問があります。
確かにそれに関して疑問があります。
空間に時間を加えるのだから単位はm^3・sになりますでしょうか？
次元という観点から考えれば問題は無いと思います。これはわかります。
皆様のご解答通り体積を持った物体をいろんな時間から見れるという定義になると思います。

例えば断面2次モーメントはどうなのでしょうか？
単位はm^4ですよね。そちらのほうが4次元って言われてもしっくりきます。

後、ドラえもんでは4次元空間って言ってますからあくまでm^4ですよね？
まあ、あれは物体の大きさなどを無視するといった超次元のような意味合いの4次元なのでしょうが…

知れば知るほどまた新たな疑問がでてややこしくなります。

お礼日時：2006/12/22 21:05

No.8 回答者： proto 回答日時： 2006/12/21 09:30

4次元をイメージする助けになるかもしれないようなことを書きます。

まず3次元空間はx軸,y軸,z軸から成って、4次元空間はx軸,y軸,z軸,t軸から成るとしましょう。
今われわれが住んでいる空間は3次元空間ですよね。
われわれは3次元の空間の中を自由に移動することが出来ます。

今、目の前にx軸の方向を向いた一本の矢があるとします。
3次元空間の中を自由に移動することが出来るので、そのx軸の矢をさまざまな方向から眺めることが出来ます。
矢はどの方向から見ても直線に見えるはずですが、唯一矢が自分に刺さるような方向から見ると、矢(x軸)は点に見えます。
この視点から見るとx軸上にあるものはすべて重なって見えて、一度に眺めることが出来ますよね。
x軸上のすべてのものを一瞬で見渡すことが出来ることが3次元空間の特徴です。
もちろんこれはy軸,z軸に関しても同じことが言えます。

では上と同じことを時間軸(t軸)について考えてみましょう。
われわれが空間を見るとき、今日は現在の風景しか見ることが出来ません。
しかし昨日には(今日を基準に考えて)過去の風景が見えていました。
明日には(同じく今日を基準に考えて)未来の風景が見えていることでしょう。
この状態がt軸の矢を真横から見ている状態です。
風景は、昨日,今日,明日と横並びに見えるのです。

ではt軸の矢が点に見える方向(矢が自分に刺さるような方向)から空間を見るとどうなるでしょう。
先ほどx軸の場合に、x軸上のものが重なって一度に眺めることが出来たように、
t軸が自分に刺さる方向から見ると、昨日も今日も明日も全部重なって一度に見えるはずです。
もちろん昨日や明日だけじゃなく、1年前でも5分前でも100年後でもt軸に沿って存在している空間がすべて重なって見えるはずです。

イメージできますか？
簡単にはイメージできませんよね。
それは、われわれが4次元空間を自由に移動できないからです。
t軸を横から眺め、昨日の風景は昨日に、明日の風景は明日にしか見ることが出来ないのです。

もし、4次元空間に住む生物が居れば、目線の方向によっては、彼らはすべての時間を一瞬で眺めることが出来るでしょう。
一瞬と書きましたが彼らが感じる時間は、僕らの感じる時間とは異なった虚軸方向の虚時間になるでしょうね。

No.7 回答者： Oh-Orange 回答日時： 2006/12/21 01:50

★簡単に説明。

・１次元…１点の世界　←何？
・２次元…縦、横の平面の世界　←ＴＶなど
・３次元…縦、横、高さ(奥行き)の立体の世界　←『空間』
・４次元…縦、横、高さ(奥行き)、時間の４つなど。
・なお、私達がいる世界は『時間』と『空間』をもった４次元時空です。
・また、高次元の世界から低次元の世界は覗けます。
・他にも時間を加えた、１次元時空、２次元時空、３次元時空という
　言い方がありますよ。
・これは、イメージの問題ですな。→『定義』ってのは難しいですな。
・最後に、宇宙は10次元から出来ているような仮説を前に聞いた事があります。
・理由は良く分かりませんが…。
・決して『くだらない質問』ではありませんよ。興味深い疑問ですよ。

No.6 回答者： tetsumyi 回答日時： 2006/12/20 20:38

No.3の続きでイメージして見ましょう。

といっても私達には３次元しか見えませんからイメージでは無くて考えて見ます。
ボールが飛んでいるとします。
今、ボールは空中の特定の位置にあるとします。
１秒後には違う位置にあります。２秒後、３秒後と位置が変わります。
これを図に書いて並べると３次元の空間が次々と並んで全体として4次元空間の
意味を表すことになります。これが４次元の断面となります。

ただし、宇宙は4次元時空で時間は一方向にしか進まないので自由に行き来できません。
ビデオに撮れば空間が２次元になって時間を自由に移動できるようになります。

No.5 回答者： mmky 回答日時： 2006/12/20 17:46

数学的な4次元であれば4番目はなんでもいいんですが、物理・天文学的にはなんでもいいというわけにはいきませんよね。

やはり4番目は時間ですね。これがなかなか難しいんですね。アインシュタイン先生は、例えば、電車が透明なチューブの中を走っていて、この透明なチューブが時間であるというかもしれませんね。電車は運動物体ですから電車の後部の貨車の住人には前の貨車の住人は見えないんですね。地球の表と裏の住人が互いに見えないのと同じですね。でも透明なチューブの上または外側の人には前も後も、表も裏も全部同時に見えるんですね。たのしいようだけど実際に時間のなかにいるとたいへんだよね。右に半歩足を出すと未来の出来事、左に半歩ではどうかなといつも考えていないと何がなにやらわからなくなるよね。表も裏も、前も後ろも同時に目の前を通過したら頭がおかしくなるかな。そのうえこの透明のチューブがまっすぐならいいんだけどくねくねしていたらもっとわけわからないよね。例えば螺旋状だと、過去現在未来が同時にみえたりしてね。実は、本当の4次元世界はそんな世界なんですね。絵書きさんでそういう目を持った人がいましたね。顔の前と後ろ、横が同時にみえるんですね。それを絵にするとわけわからんですよね。ピカソの絵は4次元の感覚による絵ですね。理解のしようがないですがあれが時間上の表現ですね。

No.4 回答者： greenhouseeffect 回答日時： 2006/12/20 15:35

次元を下げることは簡単ですので、その逆でイメージしてみましょう。

まず次元の下げ方ですが、３次元空間で２次元はどのように表現できるかというと、立体の影、もしくは立体を切断した切断面がそれに当たります。

仮に影で考えて見ましょう。（ただし、平らな床にできた影をイメージしてみてください。）
影とは厚みの無い存在ですのでまさに２次元ですね。さらに、２次元の物体に２次元的な光を当てるとどのような影ができるでしょうか。つくられる影は直線、つまり一次元になります。

まとめると、２次元とは１次元の影ができるような存在です。３次元とは２次元の影ができるような存在です。

つまり、４次元とは！３次元の影ができるような存在です。さぁイメージしてみましょう。
影が３次元になる…
………
……
…

え～と、できましたか？
私はできませんでした…

ただ、理屈ではそう考えられます。（中途半端でスミマセン）