マクローリン展開とは何をどうする事なのか、また、どういう時に使うのかを教えて下さい!(計算の例などを示してくださると助かるのですが・・・)

A 回答 (3件)

テーラー展開及びマクローリン展開の一般式は初歩的な”解析学”の本に載ってますので、そちらを読んでください。



で、簡単に言うとマクローリン展開は、x=0で微分可能な任意の関数を、代数関数で表すものです。代数関数というのは、x^n(xのn乗、但しxは0以上の整数)の線形結合で表される関数のことです。つまり、
Σa(n) x^n
の形です。但しa(n)はx^nの係数でもちろん定数です。

この形は至るところで威力を発揮します。物理や数学の世界ではたびたびこの形に変換した方が都合のいいケースがあります。
中でも、計算機にとってこの展開は欠かせません。計算機は、四則演算はできますが、それ以外(三角、指数、対数、その他の特殊関数)を直接計算することはできません。そこで、これらの関数をマクローリン展開してやると、例えばburgess_shaleさんの示した例のように、exp(x)でさえも四則演算で計算できる形になるわけです。もちろん計算機ですので、無限級数を計算するわけにはいかないので、十分誤差が小さくなるような有限回数で計算をやめます。
こうして得られる、計算結果は厳密には近似値ですが、実用上十分高い精度の値が得られるのです。

話かぶってしまったけど、こんな感じでいいすか?
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マクローリン展開というのは1番簡単にいうと、或る関数がややこしい形の時に、整数の級数(数列みたいなもの)の形で表そうとすることなんですよ。

その中でも特に原点において展開したものをマクローリン展開と言ってそれ以外の時をテーラー展開と言います。級数の形にすれば具体的な数値をある程度の精度で求めることができるので重宝がられているのです。
 例えばexp(x)をマクローリン展開すると、exp(x)は何度微分しても同じ形なので、
exp(x)=exp(0)+x{exp(0)}'/(1!)+(x^2){exp(0)}"/(2!)+(x^3){exp(0)"'}/(3!)+…
   =Σ{(x^n)/(n!)} (0≦n≦∞,n∈整数)

となって、x=1のときの3までの近似をとれば、exp(x)=1+1+1/2+1/6=16/6=2.7
というようになります。他にも、三角関数などのちょっと見ただけではどんな値になるのかワカラナイ関数に対してマクローリン展開(あるいはテーラー展開)をすると具体的な値を求めることができます。こんなもんでいいかな?
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マクローリン展開なんていう言葉が出てくるところ見ると,


大学の理工系の学生さん(あるいは同レベル以上の方)ですよね.
(違っていたら,申し訳ありません).
回答を書くのは大したことじゃないですが,
率直に言ってあまり気が進みません.
大学の理工系の1年の微分積分のテキストでしたら,
まず載っています.
テーラー展開の特別な場合として載っているかもしれません.
まずは,そういう本をご覧ください.
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