位相数学の添削をしてほしいず

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2682012.htmlで聞いたものです。
以下の問題について自分なりに解答をまとめてみたので添削してください。小さいことでもいいので悪いところを指摘してほしいです。
ページは松坂和夫の集合・位相入門をまとめたページです。

問１）Xの位相Oとは何か？

ただしMλとかM１とかのλや１は添え字です。この問題は
前の質問にあるやつや152ページからまとめたものです。

解答）以下の条件、甲、乙、丙を満たすことである
　　　甲.　X∈O　および　φ∈O
　　　乙. M1∈O、M２∈Oならば　M１∩M2∈O
　　　丙. （Mλ）λ∈∧　をOの元からなる任意の集合族（すなわち、　　　　　　添数集合∧は任意の有限または無限集合で、すべてのλ∈　　　　　　∧に対してMλ∈O）とすれば∪Mλ∈O　

問２）A∈XのときのAの相対位相となにか？
これは１８８ページをまとめてみました。

解答）iをAからXへの標準的写像とする（つまり、ｘ∈Aならあばi(x)=x）このときに、i:A→Xにより, Xの位相Qから誘導されるAの位相OaをAの相対位相とよぶ

問３）位相空間Xがコンパクトであるとは何か？
これは２０９ページをまとめてみました。

解答）Xの任意の開被覆が必ずXの有限被覆を部分集合として含んでいる　　　こと

問４）位相空間Xが連結であるとはどういうことか？
解答）Xの閉集合系をMとする。Xの位相をQとするときに、
　　　Q∩M＝｛S、φ｝をみたすことである。

この答えであっているのか間違えているのか、違う部分を指摘してほしいです。

No.3 回答者： MySalt 回答日時： 2007/01/23 09:14

解答の内容に関しては他のみなさんのご意見の通りだと思うのですが、

数学というのは暗記モノではないので、これらの教科書そのものの表現を
自分の言葉で言い直す練習をしてみてはどうでしょう。

例えば問１の甲は、
　「Ｘ全体と空集合はＯの元（開集合）である」
みたいに。では同じように乙と丙はどうなるでしょうか。
特に丙は、なぜこんな表現になっているのでしょうか。
そういうことを「日本語で」表現できるようになると、
理解もより進むのではないかと思います。

No.2 回答者： kabaokaba 回答日時： 2007/01/22 22:24

問1　OK

問2 これは一般的な定義ではありません．
「写像fで誘導される」位相を使ってますが
では「誘導される位相」とは何ですか？
普通はもっと単純な定義をします．
もちろん定義としては同値なので，
論理的には問題はないのですが．

問3　これはOK．ただし，「部分集合として含む」という
表現は普通はしません．
「任意の開被覆から有限（部分）開被覆を取ることができる」
というような表現が普通です．
＃もちろん，任意の開被覆の「部分集合」として
＃有限開被覆があることは間違いないのですが．

問4　これは連結の定義としては一般的ではありません．
SはXの間違いというか・・・
前の質問をコピー＆ペーストしただけですね．
一般的に使われている普通の定義がきちんと書いてあるはずです．
例えば，こんな定義．
Xが連結であるとは，
Xの開集合U，Vに対して
X= U ∪ V かつ U ∩ V = φ
ならば，UまたはVはφである

例えば，この定義のもとで，
「Q∩M＝｛S、φ｝」を示すことは簡単です．
逆も簡単です．
練習問題として手ごろでしょう

この回答への補足

そっかアドバイスありがとう。まじで感謝してるっす。
ありがとう

Xの開集合U，Vに対して
X= U ∪ V かつ U ∩ V = φ
ならば，UまたはVはφである

うん教科書にもこんなことが書いてあったようなきがする

補足日時：2007/01/22 22:51

No.1 回答者： ojisan7 回答日時： 2007/01/22 19:02

問１はそれで良いと思います。

問２も良いでしょう。
問３は、ちょっと表現の仕方が変ですね。「部分集合」を削除して下さい。
問４は、違うんじゃないですか。Sは何ですか？連結の定義をもう一度、復習して下さい。

この回答への補足

ごめんなさい問４はSではなくてXの間違いです

補足日時：2007/01/22 21:40