質問

長軸をa、短軸をbとしたときの楕円体の体積を教えてください。
正確に求めるのは困難だとおもうので、
良い近似値(ここでは正確性より単純性)があれば教えてください。
2b>a>bの範囲です。

また、下記のURLの回答が納得できないので、
それについても御教授ください。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=11507

宜しくお願いします。

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回答 (5件)

積分計算すりゃいいわけですが,
そんなことしないで簡単にやりましょう.
nanashisan さんの回答パクっているようで,
気が引けています.
nanashisan さん,すみません.

楕円体の軸を x,y,z 方向とします.
楕円体の内部を x,y,z 方向に辺が向いた直方体で埋め尽くしてやります.
本当は無限個必要ですが,そこらへんはいい加減で勘弁.
楕円体の体積は(無限個の)直方体の体積の和.
で,どれかの軸(例えば x 軸)の方向に楕円体を引き延ばしてやります.
そうすると,直方体への分割の様子はそのままですが,
各々の直方体の体積は2倍になります.
x 軸方向だけ辺が2倍になるわけですからね.
で,楕円体の体積も2倍.
別に2倍に限らず,何倍でも良いわけですから,
楕円体の体積は x 軸方向の長さに比例します.
同様に,y 軸方向の長さにも,z 軸方向の長さにも
比例します.
すなわち,楕円体の主軸の長さを 2a, 2b, 2c とすると,
(この表現の方が普通のようなので,こうしました)
体積は abc に比例します.
a = b = c のとき,楕円体は半径 a の球(体積 4πa^3/3)
に帰着しますから,比例係数は 4π/3 のはず.
したがって,楕円体の体積は (4π/3)abc です.

同じような議論で,楕円の面積 πab も求められます.

なお,楕円体の表面積を問題にするときは,
上のような議論は使えません.
表面積は楕円積分の第1種と第2種が両方入った式になって
いたと思いますが,ちょっと思い出せません.

この回答へのお礼

丁寧で分りやすい説明をありがとうございました。
積分の基本も忘れていて恥ずかしいかぎりです。

長軸と短軸だけを示されているということは、ここでは楕円体でも
「回転楕円体:楕円形を軸に対して回転してできる立体図形」
を指しているのでしょうか。

(x/a)^2 +(y/b)^2=1,z=0              (1)

で示される楕円をx軸まわり回転させたとき(^2は2乗を示す)その体積をVとすると

V=2π∫y^2dx = 2π{(b/a)^2}∫ (a^2-x^2)dx=(4/3)πa(b^2)

となります。(積分区間は0≦x≦a)
y軸まわりの回転のときも同様にして、体積=(4/3)π(a^2)bとなります。

(1)で示される楕円をx軸まわり回転させたときできる図形の方程式は

(x/a)^2 +(y/b)^2+(z/b)^2=1           (2)

となりこれは半径1の球を,x軸方向にa倍,y軸及びz軸方向にb倍したものと考えられ,容易に体積が求まります。先にnanashisan氏が示しているのがこの方法だと思います。

体積=(半径1の球の体積)×a×b×b=(4/3)πa(b^2)

更に次式で表される一般の楕円体

(x/a)^2 +(y/b)^2+(z/c)^2=1            (3)

に対しても同様にして
体積=(半径1の球の体積)×a×b×c=(4/3)πabc となります。

ちなみに(1)で表される楕円の面積については,半径1の円をx軸方向にa倍,
y軸方向にb倍したものと考えれば
面積=(半径1の円の面積)×a×b=abπ となります。旧課程の高校数学の「代数・幾何」では1次変換とからめてよくこのての問題が扱われていました。

参考になれば幸いです。

この回答へのお礼

言われてみればそのとおりです。
ところで、
http://www.ne.jp/asahi/prostate/psa/h/nich57.html
の最後の方の「過少評価される傾向」はなぜ出てくるのでしょう?

この回答への補足

お礼に示したURL先の「過少評価される傾向」
が分りました^^;

前立腺を計ってるんでしたね・・・
完全な長楕円体を計測しているものだと、
頭の中で置き換わってました^^;

球の体積 × 引っ張って伸ばした比率

この回答へのお礼

確かにそのとおりです。
http://www.ne.jp/asahi/prostate/psa/h/nich57.html
を読んだために悩んでしまいました^^;

楕円体ということだと、軸が3本あるんですよ。a,bだけだと楕円の面積の話になります。お知りになりたいのはどっちだろ?

この回答へのお礼

すみません。説明が足りませんでした。
回転楕円体で軸はa,b,bでしたがもう解決しました。
ありがとうございました。

楕円の面積の求め方は判りますか?
判れば簡単。軸を決めて積分してやればパーフェクト。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
解決しました。

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