楕円体の表面積

こんにちは、
下記のような長径、短径の楕円体の表面積は
どのようにしたら求まるのでしょうか？
ちなみに答えは、4πR^2(1+2/5ε^2)です。

a = R*(1 + ε); (*長径*)
b = R*(1 -ε/2); (*短径*)
S = 4*Pi*a*b

No.3 回答者： ojisan7 回答日時： 2007/02/12 17:48

S = 4*Pi*a*bは楕円の面積の公式ですね。

しかし、ここで考えているのは、回転楕円体の表面積です。楕円体の表面積は一般的に楕円積分になりますが、回転楕円体の表面積は初等関数で表すことができますね。主軸の半径をa,a,bとした場合、a>bのときと、a<bのときで式が多少異なります。No1の補足にある回転楕円体の場合には、a>bのときの公式が使えるのではないでしょうか。εが非常に小さい数だとして、テイラー展開をすれば、目的の式が求まると思います。

この回答への補足

自分で下記HPを参考にしまして、mathematicaで計算してみました。
しかし、答え4πR^2(1+2/5ε^2-4/105ε^3+、、、、)が導けません。
後の処理をご教示頂きましたら幸いです。


http://documents.wolfram.com/v5/Demos/FormulaGal …

http://www.asahi-net.or.jp/~jb2y-bk/NaturalSci/m …



a = R*(1 + e);
b = R/Sqrt[1 + e];
c = b;
m = a^2*(b^2^c^2/(b^2*(a^2 - c^2)));
q = ArcSin[Sqrt[1 - c^2/a^2]];
S = 2*Pi*(c^2 + ((b*c^2)/Sqrt[a^2 - c^2])*EllipticE[q, m] + b*Sqrt[a^2 - c^2]*EllipticF[q, m]);
Print[FullSimplify[S]];

補足日時：2007/02/26 20:17

No.2 回答者： zk43 回答日時： 2007/02/11 23:25

原子核とかよく知らず、何を意味しているのかわからないので、

楕円の回転体なのか、何なのかよくわかりません。
「＝」ではなく、近似の記号を使っているので、εが非常に小さい
数だとしての近似なのでしょう。

リンクのページで、b=cとして、テイラー展開なんかを使って、
評価しているのだと思います。
計算も大変なので、詳細までは調べてません。
感覚的には、半径Rの球の表面積4πR^2で、半径をちょっと変えると
いうように考えているのかな？

参考URL：http://www.asahi-net.or.jp/~jb2y-bk/NaturalSci/m …

この回答への補足

下記HPを参考にして、mathematicaで計算してみました。
しかし、答え4πR^2(1+2/5ε^2-4/105ε^3+、、、、)が導けません。
後の処理（テイラー展開）をご教示頂きましたら幸いです。
http://documents.wolfram.com/v5/Demos/FormulaGal …
http://www.asahi-net.or.jp/~jb2y-bk/NaturalSci/m …
a = R*(1 + e);
b = R/Sqrt[1 + e];
c = b;
m = a^2*(b^2^c^2/(b^2*(a^2 - c^2)));
q = ArcSin[Sqrt[1 - c^2/a^2]];
S = 2*Pi*(c^2 + ((b*c^2)/Sqrt[a^2 - c^2])*EllipticE[q, m] + b*Sqrt[a^2 - c^2]*EllipticF[q, m]);
Print[FullSimplify[S]];

補足日時：2007/02/26 20:19

No.1 回答者： zk43 回答日時： 2007/02/11 21:03

Sとは何か？

楕円体とは、(x/a)^2＋(y/b)^2＋(z/c)^2≦1
のことを意味しているのでしょうか。

この回答への補足

お返事ありがとうございます。

Sは、余分でした。忘れてください。


＞楕円体とは、(x/a)^2＋(y/b)^2＋(z/c)^2≦1
＞のことを意味しているのでしょうか。

よくわかりませんが、下記HPのP52の楕円体の表面積の計算がわかりません。


http://www.rs.kagu.tus.ac.jp/beachey/NP/NP_2006_ …

補足日時：2007/02/11 22:12