無理数全体のつくる集合

集合(入門レベル)を勉強し始めたばかりで、
「無理数全体の集合Pについて、Pの濃度は可算濃度より大きい。」
ことの証明について悩んでいます。

証明の仕方としては、
(1)｜P|＝|PUQ｜（Qは有理数全体の集合とする。）を証明して、
(2)R＝PUQ（実数の集合をRとする。）より、
　｜P|＝｜R|＝ｃ（ｃは連続体濃度）が成り立ち、
(3)ｃ＞可算濃度より、
　｜P｜＞可算濃度　　　　　　　　　　　（証明終わり）

これでいいのでしょうか。
もっと適当な証明があれば教えてください。


　

No.1 ベストアンサー 回答者： zk43 回答日時： 2007/02/28 20:52

実数体の濃度が可算より大きいということを前提にすれば良いのではな

いかと思います。（この辺の議論は公理とか定義とかの厳密なものはち
ょっと忘れてしまいました。）
一般に、X：無限集合、A：Xの高々可算な部分集合として、X－Aが無限
集合ならば、XとX－Aは対等である（濃度が等しい）ということがいえ
るはずなので、証明の大まかな流れは良いと思います。
実数体の濃度が可算よりも大きいということは、カントールの定理
（＃X＜＃P(X)、＃は濃度の意味、P(X)はXの部分集合全体からなる
集合（べき集合））により言えるはずです。
例えば、Nを自然数全体の集合として、Nの任意の部分集合
｛a1,a2,・・・｝に対して、実数1/10^a1+1/10^a2+・・・を対応
させると、この実数は小数第a1,a2,・・・位のところのみが１である
実数であるので、この対応はP(N)から実数体Rへの単射になります。
したがって、＃P(N)≦＃R
ここで、カントールの定理から＃N＜＃P(N)なので、＃N＜＃R
Nは可算集合なので、Rの濃度は可算よりも大きい。

この回答へのお礼

丁寧な回答ありがとうございます。
私はまだ、カントールの定理を使いこなせる
レベルにはありませんが、zk43さんの回答を
参考にして証明できるようにがんばろうと
思いました。

お礼日時：2007/03/07 21:14

No.5 回答者： mis_take 回答日時： 2007/03/02 01:21

> (1) はほとんど自明ですよね＞#3.

初心者にはどうでしょうか。
「PとRの一対一対応を定めよ」というのは試験問題に使えそうですね。

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2007/03/01 13:52

ん～, R = P ∪ Q が非可算であることを言ってから, Q は可算なので「P が可算 only if R が可算」という方が

ような気はします. 任意の無限集合 X に対して |X| = |X∪Q| ですから, (1) はほとんど自明ですよね＞#3.

No.3 回答者： mis_take 回答日時： 2007/02/28 23:27

それでいいです。

(1)を示せば十分ですね。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
「（1）は自明」というような意見がありましたが、
私には、まだそこまでの感覚がなく、（１）を示すのも
大事なことだと思います。

お礼日時：2007/03/07 21:10

No.2 回答者： adinat 回答日時： 2007/02/28 21:17

非交差（A∩B）な集合A,Bに対して|A∪B|は、(i)|A|,|B|＜∞のとき|A|+|B|、(ii)どちらかが無限集合のとき、max(|A|,|B|)になります。

したがって実数の濃度が非可算である以上、無理数の濃度は非可算でなくてはなりません。

あるいは、無理数が可算集合だとすると、有理数の集合が可算であるから、P∪Qもまた可算集合になります。可算集合A,Bの合併A∪Bが可算集合になることは、たとえばA={a1,a2,…}、B={b1,b2,…}として番号付けして、A∪B={a1,b1,a2,b2,…}と並べられることから明らかです。

さらに直接無理数全体が非可算であることを対角線論法で証明することもできます。すべての実数は標準連分数に展開できることが知られているので、実数a=[a0;a1,a2,…]と表記します。有理数は有限連分数、無理数は無限連分数です。そこで、無理数全体が可算だと仮定して、P={q1,q2,…}だとします。各qiを無限連分数に展開qi=[qi0;qi1,qi2,…]して、新たな無限連分数q=[0;(q11)+1,(q22)+1,…]を作ります。このqは無理数ですが、どのqiとも連分数展開のi項目が1だけ異なるので、集合P={q1,q2,…}に属さないことになります。これは無理数が可算集合と仮定したことによる矛盾です。

実数が非可算集合であることを証明するときは、自然数のべき集合と思えるから、|N|＜|P(N)|=|R|を用いる方法と、実数の小数展開を利用した対角線論法が有名です。無理数全体の場合も同様に出来ますが、無理数の列から適当にいじって作った新しい元が、運悪く循環小数（有理数）になる可能性があるので（まあ適当にルールを変えればうまくいきますが）連分数展開を利用してみました。連分数をご存知なければ、適当にwebでも検索してみてください。