Ｐ＝Ｔ、Ｑ＝Ｆの時 Ｐ∩Ｔ＝Ｆ の意味を教えてださい。

初めて質問いたします。

金融工学を勉強しようと思い、その基礎として数学を勉強し始めたのですが、
数理論理学と言うのでしょうか？　その考え方が全くイメージできずに困っています。（初歩的な質問で申し訳ございません。）

(1)Ｐ＝ＴでＱ＝Ｆの時　Ｐ∩Ｔ＝Ｆ？（ＰでありかつＴであることは偽？）
どう考えたらよいのでしょうか？

また、
(2)Ｐ＝Ｆ　Ｑ＝Ｔの時　Ｐ→Ｑ＝Ｆ？（ＰならばＱは偽？）
これもどういうことなのでしょう？

集合と同じように考えて、Ｐが全部真であり、Ｑが全部偽であり、その重なっている部分が偽？　そもそも重なることはないのでは？
ひょっとして「Ｐであり、なおかつＱである」命題はあり得ないと言う意味で偽なのでしょうか？

(2)も同様に考えて　命題「ＰならばＱ」はそもそもＰが偽なので、Ｑが真であることはあり得ない、だから偽と考えるのでしょう？

本当に初歩的で済みません。
どなたか、丁寧にその考え方やイメージを具体的にお教え願えますでしょうか？

宜しくお願い致します。

No.2 回答者： i536 回答日時： 2002/05/28 17:03

質問の(1)(2)ともに、＝の使い方が明確でないので答えにくいです。

(1)Ｐ＝ＴでＱ＝Ｆの時　Ｐ∩Ｔ　はどうなるか？といわれれば、答えは真Tです(命題 Ｑ は使われていませんので)。
　Ｐ＝ＴでＱ＝Ｆの時　Ｐ∩Ｑ　はどうなるか？といわれれば、答えは偽Fです。
(2)Ｐ＝ＦでＱ＝Ｔの時　Ｐ→Ｑ　はどうなるか？といわれれば、答えは真Tです。

あるいは質問の意味が、
(1)Ｐ＝ＴでＱ＝Ｆの時　Ｐ∩Ｔ≡F　はどうなるか？といわれれば、答えは偽Fです(命題 Ｑ は使われていませんので)。
　　Ｐ＝ＴでＱ＝Ｆの時　Ｐ∩Ｑ≡F　はどうなるか？といわれれば、答えは真Tです。
(2)Ｐ＝ＦでＱ＝Ｔの時　Ｐ→Ｑ≡F　はどうなるか？といわれれば、答えは偽Fです。

命題論理と述語論理の違いを区別する必要があります。
質問は命題論理ですから、P,Qはそれぞれ命題です。
命題は真(T)または偽(F)のどちらか一方の値をとる文です。
命題を文のままで扱うと、内容にとらわれて形式を見ぬけにくいので
命題を意味する記号P,Qをつかいます。
そこで記号P,Qをそれぞれが真(T)または偽(F)のどちらか一方の値をとる変数と考えます。

さらに、P,Qの2つの単純な命題を組み合せて、P∩Q,P→Qのような複雑な命題をつくることができます。
P∩Q,P→Qは、"P∩Q","P→Q"のそれぞれ""で囲まれた一塊がまた一個の命題となります。

【例】
『きょう雨が降った、そして、わたしは傘をさした。』という文は、本当か嘘かいずれか一方に決定できます。
したがって、この長い文全体が一個の命題です。これを命題記号Aで表します。
命題Aを詳しく調べると、『きょう雨が降った』『わたしは傘をさした』という細かい２つの命題を、”そして”という論理語で
結合した複合命題であることが分かります。
そこで、論理語"そして"、『きょう雨が降った』,『わたしは傘をさした』を
それぞれ　∩、P、Q　で記号化すると、文Aは P∩Q と簡潔に書けます。
同様に、『きょう雨が降ったならば、わたしは傘をさした。』は、論理語”ならば”を→で記号化すると、P→Q と書けます。
ちなみに、P→Q は、not P ∪ Q　と同値です。
さらに、P,Qを細かい命題に分けることができる場合はつづけることができますが、
この例の場合は、これより細かい命題に細分できません。

上記複合命題P∩Q ,P→Qが真となるか偽となるかは、部品命題であるP,Qの真偽に依存します。
２変数x,yを持つ関数F(x,y)と同様に、複合命題Aを命題関数A(P,Q)とし、
部品となっている命題P,Qと、全体である複合命題Aとを分けて考えないと、混乱します。

No.1 回答者： uzo 回答日時： 2002/05/28 16:12

おそらく、次のことだと思います。

（１）
　命題Ｐが真（Ｔ＝True）で、命題Ｑが偽（Ｆ＝False）のとき
　　Ｐ　かつ　Ｑ　という命題が、真か偽か？　ということですね。
　この場合、Ｐ、Ｑ両方とも真でないと、偽になります。

　例えば、　「犬は動物である　かつ　猫は植物である」　は　偽
　「犬は動物である　かつ　桜は植物である」　は真です。

　なお、「または」で結べば、どちらか一方（または両方）が真なら、真です。

　　例　「犬は動物である　または　猫は魚類である」　は　真


（２）　Ｐ→Ｑ　は「ＰならばＱ」ということですが、これはＱが真（Ｔ）なら
　Ｐの真偽に関わらず、真、となります。

　　つまり

　「犬は植物である　ならば　猫は動物である」　は　真です。

　「猫が動物である」というのは、
　「犬が植物であろうが、なかろうが」正しいのですから

　やや日常感覚とは違うのかもしれませんが・・・