数学の講師仲間である議論,逆を確かめる必要はあるのか?

こんにちは。高校の数学の講師仲間である議論になりました。
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次の等式が成り立つように，定数a，bの値を定めよ．
lim[x→1](x^2+ax+b)/(x-1)=3
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これを解くのに、
lim[x→1](x^2+ax+b)=lim[x→1]{(x^2+ax+b)/(x-1)}(x-1)
=lim[x→1]{(x^2+ax+b)/(x-1)}lim[x→1](x-1)
=3*0=0
だから、
1+a+b=0
b=-(a+1)を与式に代入して、約分して、
lim[x→1](x+a+1)=3
より、
1+a+1=3
a=1、また、b=-2

ここまでは異論ありませんが、その後、
「逆にa=1、b=-2のとき、与式が成立する」
と逆が成り立つことを書いておく必要があるかないか、議論になりました。
ある人は、書くべきだ、生徒にもそう指導すべきだ、といいます。
ある人は、特に書くべきでない、書くべきというならすべての数値決定問題に書くべきだが実際にはそうなっていない、なぜこの場合だけ特別視して逆を確かめるのか、といいます。

どうなのでしょうか？

No.30 回答者： masuda_takao 回答日時： 2007/04/06 20:13

　かなり錯綜したやり取りになっているようですが、誠に勝手ながら、問題意識の当初に立ち戻って話を整理したいと思います。

　本問の考え方を文章で述べれば、例えば以下のようになるでしょう。

「lim_{x→1} (x^2 + ax + b)/(x - 1) = 3　...[0]
...が成り立つためには、２次式 x^2 + ax+ b が因数 x - 1 を持つことが必要である。...[*1]
　そのための条件は 1 + a + b ＝ 0 ...[*1a]
　[*1] 即ち [*1a] のもとで、[0] が成り立つためには、問題の関数に [*1a] を用いて
lim_{x→1} [x^2 + ax + (a - 1)]/(x - 1)
= lim_{x→1} (x + 1 + a) = 3
...より、a + 2 ＝ 3　...[*2]」

...というわけで、論理的には
「[0] ならば [*1a] 且つ [*2] が成り立つ」
という議論になっているわけです。質問者さんの答案例にある内容は、ここまでです。

　「[*1a] 且つ [*2] ならば [0] が成り立つ」ことは、この段階では述べられていないわけです。で、これを示さない限り、[0] 式と「[*1a] 且つ [*2]」の同値性は保証されません。
　後者は示すのが易しい内容ではありますが、命題の同値性をキチンと踏まえることを重視するなら、この“逆の議論”は...ひとことで良いので...述べるべきではないかと僕は考えます。.
　別の考え方によっては、又は問いの要求する内容によっては、逆の議論を書かない場合もあるかと思いますが。

　「書くべき」派の方々と、「書かざるべき」派の方々との、双方の論拠の違いにちょっと興味があります。

　あと、特別視云々ですが、私見を述べれば、必要性と十分性の議論に分けているか、命題の同値性で議論を進めているかに普段から留意していれば、どういった場合に「逆の議論」が必要になるかは分かるはずで、必要な場合はひとことで済む場合でも全て書くべきだと思います。
　少なくとも、命題同士の関係を理解して議論を進めていくことを重視し、又はその能力を身に付けていることをアピールさせる練習をさせるのであれば。
　そうした観点に立てば、この手の問題を解くときだけ書くという話にはならないんじゃないかと。

No.29 回答者： lick6 回答日時： 2007/03/11 07:55

#12,20です。

>>>lim[x→1](x^2+ax+b)/(x-1) = 3 かつ lim[x→1](x^2+ax+b) = 0
>>これを a , b が同時に満たしてくれる確証はどこにもありませんよね。

>それは確かにそうです。a,bは存在しないかもしれない。
>その後、1 + a + b = 0 を使って、a = 1 , b = -2 が求まります。
>（頭の中では同値変形してます。）
>求まった時点で、a,bは存在すると認識するべきだと僕は考えます。

おそらく頭の中で同値変形しているということは「変形一つ一つで逆が成り立つことを頭の中で理解している」こういうことではないでしょうか。
確かに一つ一つの変形は丁寧な説明がなくとも同値であることはわかるでしょうが、やはり十分性を確認していることに入ると思います。
回答としては理解しているということをアピールする部分も含めて、一言「逆に a = 1 , b = -2 のとき与式は成り立つ」などと書いた方が好ましいのではないでしょうか？
。

この回答へのお礼

>回答としては理解しているということをアピールする部分も含めて、一言「逆に a = 1 , b = -2 のとき与式は成り立つ」などと書いた方が好ましいのではないでしょうか？
。

書くべきというならすべての数値決定問題に書くべきだが実際にはそうなっていない、なぜこの場合だけ特別視して逆を確かめるのでしょうか？

お礼日時：2007/03/12 10:28

No.28 回答者： mis_take 回答日時： 2007/03/10 23:49

ANo.25です。

失礼しました。この疑問はANo.22さんの回答に対するものでした。

No.27 回答者： hiccup 回答日時： 2007/03/10 23:43

ANo.21 です。

>> という思考過程に不備があれば教えてください。

不備はありません。私の思い違いでした。たいへん失礼しました。


同種の一般的な問題で、存在しないものが紛れ込むケースは本当にないのでしょうか。
ないという証明はできるのでしょうか。

No.26 回答者： Ama430 回答日時： 2007/03/10 23:19

数学教育と受験数学指導は必ずしも全面一致していないという考えをもっています。

極限や軌跡に限らず、必要性と十分性を常に考慮しながら論理展開するという立場からは、逆の確認をくどく行うのもひとつの教育方針と思います。

しかし、必要十分である場合に形式的に「とりあえず書いておけ」という書き方は「蛇足」と呼んでもよく、「書くべきでない」が数学教育の立場と思います。

必要性と必要十分性のチェックをしていないために逆を確認していないのか、必要十分性を確信しているために逆を確認しないのかを、指導者は判別すべきなのでしょう。

ただし、受験数学指導では、限られた指導時間でテストの点数を得るというテーマがあるのではないでしょうか。
「蛇足」(検算)を減点するケースと、「蛇足」がないために減点されるケースでは、後者が多いと判断して、「とりあえず書く」という指導は間違いというほどではないと思います。

私はそういう指導は嫌いですが。

No.25 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/03/10 22:51

>この方程式の解き方は、無縁根を誘発しません。

>「逆にx=4のとき、与式を満たす」という記述は「不要」かつ時には「蛇足」です。
>反論があるようでしたら、無縁根を誘発する例をお願いいたします。
>そのようなものはないと思いますが。

反論などありません。
>この方程式の解き方は、無縁根を誘発します。
というのは、
>因数分解して、(x-4)(x-1)=0
までに対応してました。ここまでを「方程式の解法」だと勝手に思い込んでのコメントです。
そもそも「無縁根」なる用語は、この段階でしか意味がありませんから。
この見地からいえば、
>ここで与式の右辺≧0より、x=4
というのは、「無縁根」を除外するコメントの一例でした。看過してました。
得られた二つの根を元の式に代入して、整理付く無いほうを除外するというのも、他の一例です。

ご質問の趣旨は、「無縁根」を除外したあとも「逆が成り立つこと」を書いておく必要があるのか、
ということでしたならば、「不必要」ではなく「禁止」すべきです。
「検算」なんぞ用紙の余白ですれば済むことで、解答欄に書いちゃいけないものでしょう。

No.24 回答者： mis_take 回答日時： 2007/03/10 21:34

元の質問からは外れて恐縮ですが。

。。

> 問題の条件を P とする．
> いま，必要十分/必要/十分の区別なく，
> A_1, A_2, ..., A_n　・・・　(1)
> と羅列的に書かれた答案がある．ふつう，この答案は，
> P <=> A_1 <=> A_2 <=> ・・・ <=> A_n　・・・　(2)
> の意味である，と読む．

ふつう，
A_1 => A_2 => ・・・ => A_n
の意味ではないでしょうか？

「x>1,y>1 のとき xy+1>x+y を示せ」に対する次の解答は認めますか？

xy+1>x+y
xy-x-y+1>0
(x-1)(y-1)>0
Q.E.D.

もちろん，⇔で結んであれば問題ないですが。

この回答へのお礼

「x>1,y>1 のとき xy+1>x+y を示せ」に対する次の解答は認めますか？

たとえば、教科書の執筆する立場だとして、普通は次のように書きます。

左辺-右辺=(xy+1)-(x+y)=(x-1)(y-1)
ここで、与えられた条件よりx-1>0,y-1>0
したがって、左辺-右辺>0
よって、左辺>右辺

そもそも、僕は数式の羅列を議論の対象にしていません。
xy+1>x+y
xy-x-y+1>0
(x-1)(y-1)>0
Q.E.D.
という解答はダメです。認めません。ただ、次のように日本語を補えば、生徒用答案としては認めます。
xy+1>x+yを示すためには、
xy-x-y+1>0つまり、
(x-1)(y-1)>0を示せばよい。
ここで、仮定からこれは成立している。
よって証明できた。

お礼日時：2007/03/10 22:00

No.23 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/03/10 20:57

#2 です。

>次を解け。
>√x=x-2
>-----------
>２乗して、x=x^2-4x+4
>整理して、x^2-5x+4=0
>因数分解して、(x-4)(x-1)=0
>ここで与式の右辺≧0より、x=4
>この後、「逆にx=4のとき、与式を満たす」を書いておけ、と指導すべき？すべきでない？

だいぶ昔、書いたようにこの方程式の解き方は、無縁根を誘発します。
それを除去する記述は「必要」です。

この回答へのお礼

>次を解け。
>√x=x-2
>-----------
>２乗して、x=x^2-4x+4
>整理して、x^2-5x+4=0
>因数分解して、(x-4)(x-1)=0
>ここで与式の右辺≧0より、x=4
>この後、「逆にx=4のとき、与式を満たす」を書いておけ、と指導すべき？すべきでない？

この方程式の解き方は、無縁根を誘発しません。
「逆にx=4のとき、与式を満たす」という記述は「不要」かつ時には「蛇足」です。

反論があるようでしたら、無縁根を誘発する例をお願いいたします。
そのようなものはないと思いますが。

お礼日時：2007/03/10 21:52

No.22 回答者： Ishiwara 回答日時： 2007/03/10 12:54

「必要」はありません。

教育上、触れておくことをお勧めする、のは自由ですが。

この回答へのお礼

同意します。

お礼日時：2007/03/10 21:49

No.21 回答者： fool_ish 回答日時： 2007/03/10 09:41

問題の条件を P とする．

いま，必要十分/必要/十分の区別なく，
A_1, A_2, ..., A_n　・・・　(1)
と羅列的に書かれた答案がある．ふつう，この答案は，
P <=> A_1 <=> A_2 <=> ・・・ <=> A_n　・・・　(2)
の意味である，と読む．

ところが，問題文の解答をお礼文の解答のように読め，という主張は，
(1)のような答案があったとき，読んで見なければわからないある i があって，
P <=> A_1かつP <=> A_2かつP <=> ・・・ <=> A_{i-1}かつP <=> A_i <=> ・・・ <=> A_n　・・・　(3)
と読め，という主張である．
これは，問題によらず，答案(1)に最大 n 通りの読み方があることを意味し，
合理的でないと思うが，いかがか．

この回答へのお礼

数学の証明は、厳密さも重要ですが、わかりやすさも重要なために、
あまり同値関係で結んだりはしないで、日本語の説明を多用します。

なので、回答者様のおっしゃられることには同意しかねます。

お礼日時：2007/03/10 21:49