ローラン展開

ローラン展開のしかたがわかりません
1/z^2+1
をｚ=i点まわりでローラン展開するのはどうすればいいのでしょうか？

No.4 回答者： atomicmolecule 回答日時： 2007/03/09 15:50

1/(z^2+1)として考えてみます。

z=aの周りでテイラー展開するとは(z-a)の冪で表すということですよね。少し(z-a)で整理してみます。

1/(z^2+1)
=1/[ ((z-a)+a)^2+1 ]
=1/[(z-a)^2+2a(z-a)+a^2+1]

ですよね。分母をみて、ｚがaに近づいたときにどうなるかというとa≠虚数単位のiでなければ

1/(z^2+1)≒1/[a^2+1]　となりますよね。よってｚがaになるときに小さくなる項をまとめてAとおくと

A≡(z-a)^2+2a(z-a)

そして

B≡1+a^2

とおくと

1/(z^2+1)=1/[A+B]=1/[B(1+A/B)]

ですが、Δ≡A/Bは小さい数ですから

1/(z^2+1)=(1/B)(1-Δ+Δ^2-Δ^3+....)

とテイラー展開されますね。Δを(x-a)で表して冪をそろえればｚ＝aでのテイラー展開が得られます。
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a=虚数単位iである場合B=0ですからΔ=A/B＝∞なのでこの方法ではできません。元に戻って

1/(z^2+1)
=1/[(z-i)^2+2i(z-i)+i^2+1]
=1/[(z-i)^2+2i(z-i)]

です。今度は

A'=(z-i)^2
B'=2i(z-i)

とおきます。ｚがiに近い場合、A’とB'ではどちらが小さいかというと、小さい数の二乗しているA'の方が小さい。よって
1/(z^2+1)
=1/[A'+B']
=1/[B'(1+A'/B')]
=(1/B')*1/(1+Δ')

Δ'=A'/B'=(z-i)/(2i)で展開すればよいです。

1/(z^2+1)
=1/B'*[1-Δ'+Δ'^2-Δ'^3+....]

これをやはり(z-i)の冪でそろえてやればテイラー展開の完了です。要は小さい数を見極めてテイラー展開するだけです。

No.3 回答者： info22 回答日時： 2007/03/09 15:26

参考URLの２に同じ関数の展開法が有りますので参考にしてください。

参考URL：http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/12cmplx/090 …

No.2 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/03/09 14:20

#1 の続きを...。

>ｚ=i点まわりでローラン展開....

　http://hb3.seikyou.ne.jp/home/E-Yama/LaurantExpa …
>p.5 【問題2】
を参照してください。

No.1 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/03/09 09:22

>1/z^2+1

1/(z^2+1) ですね。
それなら、分母は (z-i)(z+i) です。

(1) 1/(z^2+1) = [A/(z-i)]+[B/(z+i)]
を解いてみる。

(2) まず、両辺に(z-i)を掛けて、z=i としたら A が求まる。

などなど。