春休み課題 数学Iからの教科書の応用問題

春なのに寒い日が続いていますね。
例年になく…と、前書きはこの辺で。

まだ、春休みに入っていませんが、春休みの休み期間中にやっておく課題で数学があります。
他にも、国語や、英語などがありますが、それらは既に終わっています。
私は数学が苦手なので、さっぱり分からないので、答えの求め方を教えていただければ幸いです。

少し問題が分かりづらいかもしれませんが…

三角形とはこんな感じ△、四角形とは台形を想像してもらえればいいかなと思います。

１．△←こういうカタチ
三角形ABCがあり、Aから垂直に線を下ろしたところをHとして、
∠BAH＝30゜、∠AHB＝90゜、∠CAH=45゜、AH＝√3、のときの次の問に‥

(1)AB,AC,BCの長さを求める。
(2)余弦定理を用いて、cos75゜を求める。
(3)sin15゜を求める。

(1)はBCだけが分かりません。(2)、(3)はお手上げです。
(3)に至ってはsin15゜がどこかさえも分からないです。


２．四角形ABCDにおいて、AC=8、BD=7　で、2本の対角線のなす角が60゜のとき、この四角形ABCDの面積を求める。

２．の問題は習ってないので分かりません（汗）

だれか救いの手を…

No.7 ベストアンサー 回答者： leap_day 回答日時： 2007/03/18 18:47

こんにちは

1.(1)
三角形ABCでAから垂線を引きその交点をHとするということは図を書くと分かると思いますが直角三角形が2つ並んでますよね

ということはそれぞれの三角形においてsin,cos,tanを利用してそれぞれの辺を求めることができます
http://www.nakamura-sanyo.ed.jp/sanyo/yanase/kou …

AB = AH ÷ cos30°, BH = AH * tan30°
AC = AH ÷ cos45°, CH = AH * tan45°
BC = BH + CH

(2)∠BAH=30°,∠CAH=45°より∠BAC=75°ですよね
(1)でAB,AC,BCの長さはでていますので余弦定理の公式に当てはめます
http://www.nakamura-sanyo.ed.jp/sanyo/yanase/kou …
cos75°= { AB^2 + AC^2 - BC^2 } / 2 * AB * AC

(3)sin15°= sin(90°- 75°)と書き直すことが可能ですよね
あとは sin(90°- θ)の公式に当てはめます
sin(90°- 75°) = cos75°
これは(2)ででてますね

２．これはsinを使った四角形の面積の求め方を使います(参考サイト2-3)
http://www.nakamura-sanyo.ed.jp/sanyo/yanase/kou …

S = AC * BD * sin60°/ 2

No.8 回答者： ht1914 回答日時： 2007/03/19 07:45

＃５のご回答の続きです。

＞例えば、BDを底辺とする２つの三角形の和、と認識したとします。
ＡからBDに垂線を引き（対角線との交点をＨとする）、同様にＣからBDに垂線を引いて（同Ｉ）みてください。
（面積は、BD×（AH＋CI）になりますね）

図の中に（ＡＨ＋ＣＩ）を作ります。
ＣからＢＤに平行線を引きます。ＡＨの延長線との交点をＪとします。ＡＪ＝ＡＨ＋ＣＩ　です。△ＡＣＪは６０°、３０°の直角三角形で斜辺ＡＣ＝７と分かっています。ＡＪ＝（７√３）／２が出ます。

対角線の交点を頂点とする２つの相似な直角三角形を考えるよりも楽と思います。

この回答へのお礼

まとめてお礼を申し上げます。
たくさんの方々の解説により、こんな風にすればできるんだ、ということがわかりまして、とても感謝しています。

しかし、私は不器用。
計算が下手でよく凡ミスを出してしまうんですよね。
(2)の答えが、皆さんが仰られる答えにならなくて奮闘しています(笑)
計算ミスってのは分かってるんですけども...

頭にも書きましたが、
たくさんの解説、ありがとうございました。

お礼日時：2007/03/19 14:12

No.6 回答者： metis 回答日時： 2007/03/18 17:11

連投ごめんなさい。

ミスを発見したので訂正です。
>そこで、例えば、ＡＨをxと置いてみてください。
>となると、当然ＣＩは8-xです。
この部分は、Aと対角線の交点の長さをx、Cと対角線の交点の長さを8-xです。
申し訳ありませんでした。

No.5 回答者： metis 回答日時： 2007/03/18 17:09

１

（１）１回では出ません。二つに分けて考えて見ましょう。
（２）75度を探してみましょう。それと、教科書の余弦定理の所を見比べて、確定してるものだけでcos75°を出せる公式を探してみましょう。（(1)が解けないと解けないので、お手上げではなく、(1)が分かったらもう一度やってみましょう）
（３）sin(-x)=-sin(x)。こんな感じの公式がありましたよね。
たぶんその近くにあるはずです。７５＋１５＝？？？

２
例えば、BDを底辺とする２つの三角形の和、と認識したとします。
ＡからBDに垂線を引き（対角線との交点をＨとする）、同様にＣからBDに垂線を引いて（同Ｉ）みてください。
（面積は、BD×（AH＋CI）になりますね）
すると、中に小さな三角形が２つ出来ます。（ＨまたはＩ、対角線同士の交点、AまたはCを頂点とする）
これを使って、sinなりcosなりを利用して、垂線の長さを出すのですが…。
厄介なことに、これも１回では出ません。
そこで、例えば、ＡＨをxと置いてみてください。
となると、当然ＣＩは8-xです。
xが残りますが、AH＋CIを計算しようとすると、xは綺麗さっぱり消えます。
なお、この時、どちらか一方の垂線を平行移動して、もう片方の垂線に合わせて1つの長い辺にしてみると…（ここから先はやってみてください。こう考えれば、計算１回で出ます）

No.4 回答者： age_momo 回答日時： 2007/03/18 17:05

>(1)はBCだけが分かりません。

△AHCは直角二等辺三角形なのでAH=HC、△ABHは60°を持つ直角三角形で
AHが√3ならBHもすぐ求まるはずです。後は足すだけです。
BCが求まれば(2)は余弦定理に代入するだけですが、余弦定理は分かっていますか？

(3)15°がないなら作ってみましょう。例えば(これは一例)
BH=HDとなるようにHC上に点Dを取ります。そうするとABDは二等辺三角形になるので
∠DAC=15°になります。今、BH=HDでDCもすぐ求まりますし、そうすると△ADCの面積が
求まると思います。一方、三角形の面積はS=1/2*AD*AC*sin∠DAC=1/2*AD*AC*sin15°


>２．の問題は習ってないので分かりません（汗）

この問題そのものを教えるわけがありません。数学は習った習っていない関係なく、
知っていることで工夫して解くものです。三角関数を使えば計算は簡単になりますが、
とりあえず三平方の定理を知っていれば解くことは可能です。(極端ですが)
解き方ですが例えば対角線の交点をMとしてAM=ｘとすると三角形の面積は

△ABD=1/2*x*7*sin60°
△DBC=1/2*(8-x)*7*sin60°
(なぜならAMsin15°はAからBDに下ろした垂線の長さになりますから)

これを足してみれば四角形の面積になります。足してみれば分かりますが、
計算の過程でxは消えます。

No.3 回答者： 2hen6 回答日時： 2007/03/18 16:51

１．(1)AB,AC,BCの長さを求める。

ＡＨで区切ってできた２つの三角形が中学数学で出てきた１：１：√２と１：２：√３の形になっているので、ＡＨを手ががりにＢＨ、ＨＣをそれぞれこの比を使って求め、ＢＨ＋ＨＣでＢＣを求めます。
答えはＢＣ＝１＋√３です。高校式なら正弦定理を使ってください。

(2)余弦定理の公式の形はいくつかありますが、その中の
ＢＣ＾２＝…
の式を使い、三角形ＡＢＣについて、３つの辺をそれぞれ代入して
cos75°＝…　の形にすれば求められます。
あ、余弦定理を最初から変形した
cosＡ＝…　を覚えていれば、そっちを使ったほうが速いです。
答えはcos75°＝(√６－√２)／４　です。

(3)この問題は三角形を使わない、やらしい問題ですね。
cos(90°－θ)＝sinθ　をご存知ですか？？これにθ＝15°を
当てはめると cos75°＝sin15゜となり、sin15°も
sin15°＝(√６－√２)／４　です。

No.2 回答者： Willyt 回答日時： 2007/03/18 16:43

１．

（１）ＢＣ＝ＢＨ＋ＨＣです。これを使えばできますよね。
（２）∠A=45°+　30°＝75°　になりますね。
（３）Ｂ点のＨに関する対象点をＢ’とし、ＡとＢ’を結べば∠Ｂ’ＡＣが１５°になりますね。
２．これはなかなか難しいですね。６０度で交わる二つの直線を描き、その一方の直線上の任意の点にＡを決め、ここから交点の方へ８の長さ隔てた点をＣとします。Ｂはもう一方の直線の点で、Ｄはそこから７の距離だけ交点の方向に離れた点とします。Ａから対角線に垂線を立てその足をＨ、Ｄからも垂線を立ててその足をＩとすると
面積は７×（ＡＨ＋ＤＩ）となりますね。垂線と対角線ＡＤとの角度が３０度ですから括弧内の長さは８sin30°＝４になりますね。図を書いて眺めて下さい。

No.1 回答者： mgsinx 回答日時： 2007/03/18 16:41

１．

(1)△ABHが1:2:√3の三角形、△ACHが1:1:√2の三角形であることに気づけば、答えはすぐ出るでしょう。
(2)△ABCにおいて∠BAC＝75°であるので、∠BACに余弦定理を用いればcos75°が求められます。
(3)sin15°＝sin(90°－75°)＝…

２．
例えば、△ABDと△CBDがくっついてできた四角形であると考えましょう。
それぞれの底辺は7、それぞれの高さの合計は8sin60°で求まります。
あとは面積を求めるだけです。